摘要：本文介绍了如何用矩量法分析沿长细圆柱导体上的电荷分布特性，推导了计算公式，自编了的实用Matlamble代码，得出较好数值结果。通过将数值分析结果与解析法结果相比较，显示了数值方法的正确性和优越性。同时，由于本文深入浅出的阐明了矩量法的基本原理和计算方法，因此，不仅有助于矩量法的初学者，如有关专业的本科生，也有益于从事本科生“电磁场理论” 课程教学的教师。
关键词：矩量法；电磁场理论；教学
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）09-0130-02
计算电磁学是电磁场理论的重要内容之一。如何让电类专业的本科生能够有效的学习这一重要内容，是一个值得研究的问题。作者结合自身从事“电磁场理论”课程教学的实践，以矩量法为例就此问题作了如下一些初步的探讨。
一、教学思想与方法
1.解析法的局限性。在电磁问题中，只对一些典型的几何形状和结构相对简单的问题才有可能求得严格的解析解。采用解析法计算电磁场问题局限性很大，很多实际的电磁问题中，由于系统结构的复杂性，很难求得精确的解析解。基于数学方法、电磁场理论和计算机技术的计算电磁学，开辟了一条新途径。矩量法[1-4]是计算电磁学所研究的方法之一，已得到广泛应用。本文以“沿长细圆柱导体电荷分布特性的分析”这一熟悉物理问题为例，对如何将矩量法简明扼要和深入浅出的展示给学生做了初步探讨。
2.沿长细圆柱导体电荷分布特性的矩量法模型。我们知道，在静电学中，位于点（x"，y"，z"）的电荷分布在点（x，y，z）产生的电位分布可以表示为：
V（x，y，z）=■■■ （1）
这里?籽v（x"，y"，z"）是电位分布的源，R是点（x，y，z）和点（x"，y"，z"）间的距离。一般情况下?籽v（x"，y"，z"）是未知的，而源区电位分布是给定的。因此，为了求出空间每一点的电位分布，我们必须确定源区的电荷分布?籽v（x"，y"，z"）。
可以设想把?籽v（x"，y"，z"）的一个解表示为以下函数[3]：
?籽v（x"，y"z"）=?琢1?籽1（x"，y"z"）+?琢2?籽2（x"，y"z"）+…+?琢n?籽n（x"，y"z"）=■?琢1?籽1（x"，y"z"） （2）
这里?籽i（x"，y"，z"）是在源区一些离散位置上预先选定的电荷分布，?琢i（i=1，2，…，n）是待定未知系数，将（2）代入（1）得：
Vj=V（xj，yj，zj）=■■■（3）
Vj=■?琢■■■（4）
这里j=1，2，…，n.于是，考虑到在源点（x"，y"，z"）处的电荷?籽i（x"，y"，z"），V（x，y，z）可以表示为下述电位：
Vji=■■■dvi i=1，2，…，n （5）
的线性组合，即：
Vj=■?琢iVji（6）
由于V（x，y，z）在源区内是已知的，故未知系数?琢1，?琢2，…，?琢n可以由方程（7）确定，
V1=?琢1V11+?琢2V12+…+?琢nV1n （7）
V2=?琢1V21+?琢2V22+…+?琢nV2n
┇
VJ=?琢1Vj1+?琢2Vj2+…+?琢nVjn
┇
Vn=?琢1Vn1+?琢2Vn2+…+?琢nVnn
或表示为方程（8）所示的矩阵形式：
（8）
求出（?琢i）后，利用式（2）就可以确定源区的电荷分布?籽v（x"，y"，z"），接着用式（3）预测空间任意点的电位分布。
利用上述理论与方法计算一个长20cm，半径1mm的细圆柱导体在保持1V电位情况下，沿导体的电荷分布特性。图1给出了导体的几何尺寸。由对称性，此问题可简化为一个二维问题。设想电荷集中在轴对称线上，即密度为?籽i的线电荷，如图1所示。把长为L的导体分为n个单元，每等分长度△l=L/n，如图2所示（见下页）。
图1 细圆柱导体几何结构
图2 细圆柱导体二维模型
又假设单元△l内具有的线电荷都集中在每单元中心位置处，于是原来连续分布于长为L、半径为a的细圆柱导体内的电荷则被划分n个离散电荷，第i个离散电荷可表为qi=?籽i×（L/n），式中?籽i（i=1，2，…，n）是待求未知
量。离散位置预先选定的电荷密度值为：
?籽i=1， （i=1，2，…，n）（9）
于是，由式（5）可写出Vij为：
Vij=■=■（10）
式（10）中，Rij是源点i与场点j之间的距离，可表示为：Rij=■，（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n） （11）
计算中，还假定每单元的线电荷在对应单元内保持不变。此外，由所给已知条件可知，V1=V2=∧=Vn=1（12）
将式（9）、（10）代入（11），再将（11）及（12）代入（8），可解得?琢1，?琢2，…，?琢n.
3.计算结果及分析。由上述程序可计算得到[Rij]，[Vij]，[?琢i]及[?籽i]值。当n=2时，计算得到：
[R11，R12，R22，R21]=[0.001，0.100，0.001，0.100]（m）
[V11，V12，V22，V21]=[9×1011，8.99×109，8.99×109，9×1011]（V）
[?琢1，?琢2]=[1.1×10-12，1.1×10-12]
[?籽1，?籽2]=[1×?琢1，1×?琢2]=[1×1.1×10-12，1×1.1×10-12] （C/m）
同理，可计算出n=50时的[?琢i]和相对应的电荷密度[?籽i]=[1×?琢i]，以及由此拟合出的沿长细圆柱导体的电荷分布特性，如图3所示。
图3n=50时，由计算数据拟合的沿长细圆柱导体
电荷分布特性
上述结果显示，细圆柱导体的电荷主要分布于导体的两端，这符合该问题的物理意义。而且n值不同，结果不同；n值愈大，导体两端的电荷分布愈尖锐，愈接近于理想结果。
用矩量法得到的电位表达式和电荷分布来计算在导体的中点和表面的电位，即在点（x，0，0）上的电位。该电位取决于有限长的线电荷，即：
V=■＝ln■+■-lnx（13）
因为当n=2时计算得到平均电荷?籽1=1.1×10-12C/m，在导体表面上，x=0.1cm，故由式（13）得到电位值V=0.105V，仅为外施于导体的电压的10.5%，表明用两个单元等效电荷分布模拟上述带电体所引起的误差很大。当导体的单元数n数增加到50，计算得到平均电荷密度?籽1=1.026×10-11C/m，代入式（13），计算得到电位为V=0.98（V），理论值为V=1（V），可见已经达到相当高的计算精度。因此，要使计算结果接近真实值，应将导体分为足够多的单元。但是，发现并非单元数越多越好，如果把单元分得太细小，会使运算量增加，占用电脑内存多，导致运算时间延长，甚至得出错误结果。因此，如何合理的选取单元数n是矩量法应用中的一个重要问题。此外，再给出几个有关的例子，仅供读者参考：例1，设一平板电容器，两极板接地，板间体电荷密度?籽=?着0（1+2x），板间距为一个单位长度。若忽略其边缘效应，试求此理想化的一维静电场问题的场分布。例2，设一半径为a，长度为L的细长带电体棒，其上给定电位?渍0，求此带电导体棒的电场。例3，设一矩形带电导板（长边为2a，宽边为2b），其厚度忽略不计。现给定导板电位为?渍0，求空间电场分布。
二、结论
以“沿长细圆柱导体电荷分布特性分析”这一物理问题为例，介绍了矩量法的基本原理和计算方法，全过程所涉及的基础知识均为本科生在先前课程中所掌握。在讲授时，借助于多媒体手段，可将有关的推导﹑图形﹑甚至于编程及程序运行等过程直观﹑形象﹑生动地展示出来，具有深入浅出，简明扼要和便于操作的特点，有望收到好的教学效果。
参考文献：
[1]Harrington R F，Field Computation by Moment Methods[M].New York：Macmilan，1968.
[2]王长清.现代计算电磁学[M].北京：北京大学出版社，2005.
[3]Bhag Singh Gur Huseyin R. Hiziroglu，Electromagnetic Field Theory Fundamentals，Second Edition[M].北京：机械工业出版社，2005.
[4]倪光正，等.工程电磁场数值计算[M].北京：机械工业出版社，2004.
基金项目：本文受西安邮电学院2010年电磁场与电磁波教学基金项目（201006）资助
作者简介：陈明（1956-），男，博士，教授，主要从事电磁场理论，微波技术以及集成光学方面的科研与教学；范晋（1983-），女，硕士，助教，从事电磁场与微波技术的科研与教学。
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