【摘要】 两个带异性电荷的导体之间，无论是否存在静电感应，彼此相互作用力为引力是容易理解的，但两个带同性电荷的导体之间的相互作用力如何就需要具体分析了。
【关键词】 镜像法 带电导体球 点电荷 库仑力
【中图分类号】 G633.7 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2013）02-023-01
同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引，这是众所周知的客观规律。但对带电导体而言，情况就不一定了，具体分析时就要考虑带电导体球与点电荷的距离以及带电导体球是否接地等问题了，一般用镜像法分析带电导体球与点电荷之间的关系。
一、镜像法
设点电荷Q附近有一导体，在点电荷的电场作用下，导体面上出现感应电荷。我们希望求出导体外面空间的电场，这电场包括点电荷Q所激发的电场和导体上感应的电荷所激发的电场。我们设想，导体面上的感应电荷对空间中电场的影响能否用导体内部某个或几个假想电荷来代替？注意我们在作这种代换时并没有改变空间中的电荷分布（在求解电场的区域，即导体外部空间中仍然是只有一个点电荷Q），因而并不影响泊松方程，问题的关键在于能否满足边界条件。如果用这代换确实能够满足边界条件，则我们所设想的假想电荷就可以用来代替导体面上的感应电荷分布，从而问题的解可以简单地表示出来。
例如：接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q，求空间中的电场。从物理上分析，在点电荷Q的电场作用下，导体板上出现感应电荷分布。若Q是正的，则感应电荷为负的。空间中的电场是由给定的点电荷Q以及导体面上的感应电荷共同激发的，而另一方面感应电荷分布又是在总电场作用下达到平衡的结果。平衡的条件就是导体的静电条件，即导体表面为一等势面。所以这问题的边界条件是 φ=常数 （导体面上），或者说，电场线必须与导体平板垂直。怎样才能满足这一边界条件呢？我们设想，感应电荷对空间电场的作用能否用一个假想电荷来代替？我们设想在导体下方与电荷Q对称的位置上放一个假想电荷Q"，然后把导体板抽去。若Q"= - Q，则假想电荷Q"与给定电荷Q激发的总电场由对称性容易看出，在原导体板平面上，电场线处处与它正交，因而边界条件得到满足。因此，导体板上的感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷Q"代替。Q"称为Q的镜像电荷。
二、带电导体球与点电荷之间的相互作用分析
两个带异性电荷的导体之间，无论是否存在静电感应，彼此相互作用力为引力是容易理解的，但两个带同性电荷的导体之间的相互作用力如何就需要具体分析了。
首先，带电导体球与点电荷带同种电荷时。
（1）当点电荷与带电导体球的距离足够远时，两者都可以看作孤立导体，带电导体球表面上的电荷面密度按曲率分布，不存在明显的静电感应，因此这时两者之间的相互作用符合同性电荷相互排斥，异性电荷相互吸引的规律，呈现微弱的相互斥力。
（2）当点电荷与带电导体球的距离与带电导体球自身的几何线度相当时，两者之间的静电感应就不能忽略了，带电导体球的表面电荷将重新分布。由此可以推断，当点电荷从很远处向带电导体球靠近时，两者之间的作用力将从斥力在某一“临界点”转变为引力。
设导体球的半径为R0，带电量为Q0，在距离球心为a处放一点电荷q，分析球对点电荷的作用力。（如图）
根据导体球的静电平衡条件和导体球与点电荷组成系统的特点，该电荷系统用电动力学理论中的感应电荷的镜像求解法，可以设想q在导体球上感应出一个像电荷q"，因导体球的总电量Qo 保持不变，还应有Qo— q"电量均匀分布在球面上，即相当于一个 Qo—q"的像电荷位于球心。根据这个像电荷体系，q与其像电荷q"对球面上任一点的电势贡献为零，r"/r= - q"/q=常数 。因为忽略球心像电荷Qo-q" 后，导体球相当于接地。所以有方程为：r"/r=b/R0=R0/a= - q"/q。从图1可以看出，只要适当选择q，的位置，使得三角形△oq"p∽△opq，便可确定像电荷q，的位置和大小，这样，点电荷q与带电量为Qo的导体球之间的相互作用力等价于像电荷q， Qo-q，与点电荷q之间的相互作用，即公式[1]：
由此公式可以看出：当点电荷与导体球的距离变化时将影响到两者之间的相互作用力的性质和大小，相互作用力F的表达式中第二项是吸引力，而且随着点电荷逐渐靠近球面，该项的值将大于第一项，使F小于0；由此可见，即使q与Qo为同号电荷，只要q距离导体球面足够近，它就可能受到吸引力，虽然整个导体球与点电荷带同种电荷，但由于静电感应作用，靠近点电荷q的球面部分，可能出现与q异性的电荷，形成引力。
其次，带电导体球与点电荷带异种电荷时。
（1）当点电荷与带电导体球的距离远远大于带电导体球自身几何线度时，两者可以看作孤立的点电荷，可以忽略静电感应，两者之间表现为微弱的引力。
（2）当点电荷与带电导体球的距离与带电导体球自身几何线度相当时，虽然两者间仍然表现为引力，但是静电感应对于两者之间的作用力的影响就不能忽略了。这时就不能把两者当作点电荷来简单地处理它们之间的作用力了。如（图1），设导体球的半径为Ro，带电量为Qo，在距离球心为a处放一点电荷-q 。根据导体的静电平衡条件和导体球与点电荷组成的系统的特点，该电荷系统必满足：导体球面是一个等势面，球面上的总电量为Qo。具体分析同于两者带同种电荷时的情况。此时带电导体球与点电荷之间的相互作用力表达式仍为：
只是因为带电导体球与点电荷所带电荷为异种电荷，所以由公式可以得出两者之间的作用力恒为负，即为引力。同时也可以得到，两者之间的相互作用力并不是简单的与两者之间的距离的平方成反比。
三 用辅助电荷法分析接地导体球与点电荷之间的作用力
已知已半径为R的接地实心导体球，（如图）离球心O的A处有点电荷+q，OB=R，OA=b，在A处有点电荷+q。在b线上取一点C，使△ABO∽△ABC，因为+q点电荷在导体球附近，所以在接地导体球表面有净感应电荷，其电量为q"。现在C处放置辅助电荷q" ，即假设球表面净感应电量q"集中在一点C。这时，在球面上任意点B的电势为0。由此可以推出：
（6） 式中的负号表示引力。
四、小结
用镜像法和辅助电荷法分析带电导体球与点电荷的相互作用力使分析过程大大的简化。当导体球接地时，两者之间只表现为引力；当导体球不接地时，如果两者带异种电荷则两者之间只表现为引力，如果两者带同种电荷则两者之间的相互作用力的大小和性质都会随着距离的改变而变化。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 郑家奎.带电导体与点电荷相互作用规律的镜像分析.山东师
范大学学报（自然科学版）.
[2] 林进福、顾思义.静电场的辅助电荷求解法.上海工程技术大学
学报，1996，6，10（2）2-3.
[3] 郭硕鸿.电动力学.北京：高等教育出版社，1997，70-75.
[4] 梁灿彬、秦光戎、梁竹键.电磁学.北京：高等教育出版社，
1980，64-85.
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