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摘 要：研究齿形参数及齿根过渡曲线加工方式对提高齿轮弯曲承载能力具有十分重要的意义。文章以提高齿轮弯曲承载能力为目的，从齿轮刀具加工参数设计入手，分别考虑四种过渡曲线，建立齿根过渡曲线模型，通过折截面法探究四种过渡曲线下高弯曲承载能力齿轮的压力角及齿高系数的最优解，进而分析压力角、齿高系数对齿根弯曲承载能力的影响，并通过有限元分析对理论结果进行验证。研究表明：标准齿轮下，齿轮型过渡曲线加工的齿轮弯曲承载能力要优于齿条型过渡曲线加工的齿轮，齿高系数、压力角等齿形系数发生变化时，选取适当的过渡曲线，有利于提高齿根的弯曲承载能力。
关键字：齿根过渡曲线;压力角;齿高系数;弯曲承载能力
中图分类号：U466 文献标识码：A 文章编号：1671-7988（2019）19-76-05
Abstract： The investigations on the tooth shape parameters and the processing methods of the gear root interim curve are significant for improving bending bearing capacity of gear root. Starting with the design of theprocessing parameters of gear cutter， the modes of four gear root interim curve was built in this work， and the optimal solution of pressure angle and tooth height coefficient of gear with high bending bearing capacity under four transition curves was investigated by folding section method. After that， effect of pressure angle and tooth height coefficient on the bending bearing ability of gear root was studied. The theoretical results were verified by finite element analysis. Based on this work， the bending bearing ability of gear root machined by gear interim curve is superior to that processed by rackinterim curve. Meanwhile， the appropria -teinterim curve is propitious to the increment of the bending bearing capacity of gear root when changing the pressure angle and addendum coefficient.
Keywords： Fillet curve; pressureangle; Addendum coefficient; Bending bearing capacity
CLC NO.： U466 Document Code： A Article ID： 1671-7988（2019）19-76-05
引言
齒根弯曲承载能力与过渡曲线形状密切相关，而齿形参数及齿轮加工刀具又直接影响齿根过渡曲线，因此有必要针对不同的过渡曲线，分析刀具加工参数及齿形参数对齿根弯曲强度的影响。针对标准齿轮及四种齿根过渡曲线，国内外学者做了大量研究[1][2]：李杰、王丽萍等研究了不同过渡曲线对齿根弯曲应力的影响，为高弯曲承载能力齿轮的设计提出依据[3-4];于东洋、闫靠、朱燃燃等人主要研究齿轮加工刀具对齿根弯曲承载能力的影响[5][7];王建、罗善明等人以高重合度为目的，建立压力角与齿廓方程数学模型，主动设计满足不同重合度需求，传动更平稳，承载能力更好的齿轮[6]。
综上所述，国内外学者多是单一分析齿根过渡曲线对齿根弯曲应力影响或单一分析非标齿形参数对弯曲承载能力的影响，而很少将齿形参数及齿根过渡曲线加工两方面联系起来。本文以提高齿轮弯曲承载能力为目的，考虑齿形参数及四种不同过渡曲线，建立齿根模型及折截面法数学模型，利用matlab计算工具，探究齿形参数及过渡曲线对齿根弯曲承载能力的影响，最后将有限元计算结果与理论值对比，验证其正确性，为设计高弯曲承载能力齿轮提供理论依据。
1 建立过渡曲线模型
本文涉及四种过渡曲线，第一种为齿条型刀具，刀顶曲线为圆角;第二种为齿条型刀具，刀顶曲线为单圆弧;第三种为齿轮型刀具，刀顶曲线为圆角;第四种为齿轮型刀具，刀顶曲线为单元弧。
1.1 刀具刀顶形状
第一种刀具，刀顶齿廓如图1（a）所示，其参数具有如下关系：
第二种刀具，刀顶齿廓如图1（b）所示，其参数具有如下关系：
上式中，rρ为刀顶圆角半径，c为顶隙系数，α为压力角，m为模数，ha*为齿高系数，a为刀具圆角CP距中线的距离，b为刀具圆角圆心CP距刀具槽中心线的距离。
第三种刀具，刀具齿廓如图2（a）所示，其参数之间关系如下：
第四种刀具，刀具齿廓如图2（b）所示，其参数之间关系如下：
上式中zc为刀具齿数，rc为刀具分度圆半径，rac为刀具齿顶圆半径，αac为刀具齿顶压力角。
1.2 过渡曲线方程
用齿条型刀具加工齿轮，其延伸渐开线等距曲线的参数方程式如下：
用齿轮插刀加工齿轮，其延伸外摆线等距曲线的参数方程式如下：
在上述参数方程中，α"角是变参数，α"在αp～90°范围内变化，αp是加工齿轮时齿轮插刀与齿轮的啮合角。对应不同的α"角，分别带入两种过渡曲线刀具的参数，就可得到第三种过渡曲线或第四种过渡曲线上不同点的坐标。
2 齿根弯曲强度分析
折截面法计算齿根弯曲应力的数学模型如下所示：
上式中具体含义可参考文献[5]
J值反映过渡曲线上的点对外加载荷产生的齿根弯曲应力的敏感程度，J值越小则齿根局部应力越大。
3 压力角、齿高系数对齿根弯曲承载能力的影响
本文重点对四种过渡曲线适用的压力角、齿高系数范围进行选取，在一定的变化范围内优选最佳齿形参数及过渡曲线。
3.1 四种过渡曲线适用的压力角、齿高系数范围计算
本文的研究目标是提高齿根弯曲疲劳强度，结合齿根不干涉及齿顶必要厚度，选取齿轮压力角范围为20°～25°，齿高系数范围ha=0.8～1.2。
3.2 过渡曲线J值计算
利用Matlab，将不同齿形参数下四条过度曲线得到的J值进行计算。标准齿轮下，四种过渡曲线的J值随γ角变化的曲线表示在图6中。
由图6可以得出结论：
1）四条过渡曲线的J值均有一个最小值，即齿根过渡曲线上具有一个局部应力最大值。
2）齿根局部应力最大的点随着过渡曲线的不同而不同。
由上述结论可以证明该理论的正确性，按照（9）～（12）公式，计算齿高系数、压力角变化时，第二种与第四种过渡曲线的齿根局部应力系数J最小值变化关系，如图7图8所示。
由图7可得出结论：齿条型单圆弧刀顶刀具加工齿轮时，随着压力角的增大，齿根局部应力系数J最小值也逐渐增大，表示相同齿高系数下，增加压力角，可以提高齿轮的弯曲承载能力。而压力角相同的齿轮在齿高系数发生变化时，Jmin曲线是呈抛物线形状，最高点出现在不同位置，当a=20°，Jmin最大值出现在ha=1.05时，当a=25°，Jmin最大值出现在ha=1.15时，这表明齿轮的弯曲承载能力与齿高系数不是简单的线性关系，在设计高强度齿轮时要充分分析齿高系数对其影响。
由图8可知：齿轮型单圆弧刀顶刀具加工齿轮时，随着齿高系数的增加，齿根局部应力系数J最小值逐渐增大，表示相同齿顶压力角下，增加齿轮的齿高系数，可以提高齿轮的弯曲承载能力。而在短齿情况下，压力角的变化对齿轮的彎曲承载能力较小。
将两种刀具加工齿轮的齿根局部应力最小值进行比较，得出下图：
由上图可以看出来，当压力角为20°时，齿轮型刀具加工的齿轮弯曲承载能力要优于齿条型刀具加工的齿轮;当压力角增大到23°时，齿高系数在1.05附近齿轮型刀具加工齿轮的Jmin与齿条型刀具加工齿轮的Jmin出现了交点，即，当齿高系数小于1.05时，齿条型刀具加工齿轮的弯曲承载能力要优于齿轮型刀具加工的齿轮，而齿高系数大于1.05时，则情况相反。当压力角继续增加到25°时，交点出现在1.15附近，若压力角继续增加，交点会持续增大，最终齿条型刀具加工齿轮的弯曲承载能力要优于齿轮型刀具加工的齿轮。这为以后高弯曲承载能力齿轮的设计提供了依据。
4 有限元分析验证
为了验证上述结论的正确性，用有限元对不同齿高系数、压力角的齿轮进行了建模分析。在ANSYS中建立模型，载荷施加在齿顶，单位齿宽施加500N力，选取表1的几种齿轮齿轮进行静态分析。
由表4可以发现，比较五种齿轮的齿根弯曲应力，符合图9的结论。在实际齿轮生产过程中，要综合考虑齿形系数及过渡曲线加工方法，以获得高的弯曲承载能力。
5 结论
根据上述的理论计算和有限元分析，本文的结论有：
（1）合理的选取齿形系数及过渡曲线加工方式，能有效降低齿根弯曲应力，提高齿根弯曲承载能力。
（2）用折截面法及有限元能有效、快速的推导出齿轮的危险界面位置及齿根弯曲应力，为实际生产中齿轮设计提供高效便捷依据，但有限元和常规计算也应与实验结合，得到更准确、更有实际意义的结论。
参考文献
[1] 吴继泽，王统.齿根过渡曲线与齿根应力[M]北京：国防出版社，1989： 3-19.
[2] 仙波正庄.高强度齿轮设计[M].北京：机械工业出版社，1981：62-78.
[3] 李杰，张磊，赵旗.常见齿轮过渡曲线对应齿轮弯曲应力的比较分析.机械传动.2008，32（6）101-103.
[4] 王丽萍，徐颖强，崔艳梅.基于高弯曲强度的齿轮过渡曲线分析.机械强度.2012，34（3）445-449.
[5] 徐颖强，朱燃燃，于东洋，等.大顶隙长齿齿轮高弯曲承载能力关键技术研究[J].机械强度，2014，36（2）：137-142.
[6] 王建，罗善明.基于压力角的高重合度齿轮主动设计及特性分析.中南大学学报.2014，11 （45）3792-3799.
[7] 于东洋，闫靠，徐颖强，等.基于高弯曲承载能力的齿轮加工关键技术研究[J].机械强度，2015，37（6）：1084-1091.
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