摘 要： 在数学分析教学中，“隐函数存在定理”的证明较为复杂，不易被学生接受和掌握。作者依据长期从事数学分析教学的经验，从八个方面对该定理进行分析，深入浅出，明了易懂，达到了很好的教学效果。
关键词： 隐函数存在定理 分析证明 分析论证思想
1.问题的提出
数学分析教学中“隐函数存在定理”的证明，是一个较为复杂，不易被学生很快理解和掌握的定理。现把该定理复述如下：
定理：设F（x，y）在（x，y）的领域内连续，并有连续的偏导数F′（x，y），如果
F（x，y）=0?摇?摇?摇 F′（x，y）≠0
则在（x，y）的某领域内，方程F（x，y）=0有唯一的连续解y=f（x），也就是说，这时存在某η>0，使得在［x-η，x+η］上存在着一函数y=y（x），使得：
1）y=y（x）；
2）y（x）在［x-η，x+η］上连续；
3）在［x-η，x+η］上恒等式F（x，y（x））=0成立；
4）满足条件1）—3）的函数y（x）是唯一的。
在定理所给条件下，找到满足结论条件的隐函数y=f（x），从几何直观来看就是：若在（x，y）附近z=F（x，y）为光滑曲面，则它在点（x，y）附近与z=0的交线为光滑曲线，并能表示为y为x的函数（当 F′（x，y）≠0），如图1所示。
对于这个定理，一般的分析教科书上多采用的传统证法是基于它的几何意义，而从下面几方面去进行推断。
（一）定理的结论，实质是找曲面z=F（x，y）和平面z=0的交线y=f（x），使得这曲线过（x，y）且在x附近连续，唯一。
（二）要这曲线过（x，y）必须曲面过（x，y），即F（x，y）=0。
（三）要这曲线在x附近连续，只需曲面z=F（x，y）在（x，y）附近连续。
（四）要曲线唯一，也就需证，对x附近任一x，有唯一确定的y。
在定理题设中有， F′（x，y）≠0，不妨假定它大于0，由于 F′（x，y）连续，因此存在（x，y）的某个领域，其中每一点 F′都大于0。在该领域内，固定x=x，令φ（y）=F（x，y），由于φ′（y）>0，因此φ（y）是单调上升的，只要证明存在y及y，使得φ（y）>0，φ（y）<0，则由一元连续函数的中值定理，就存在一点M（x，y）使F（x，y）=0，这是定理证明的核心。其几何意义是：曲面z=F（x，y）垂直于x轴的平面x=x的交线z=F（x，y），剖面图形如图2所示。
这种证法比较直观，容易被接受，但只给出了解的存在性证明。在很多问题的研究中，我们不仅仅需要知道隐函数的存在，更重要的是要求得隐函数，而这种证法并不能解决这个问题。我们看到在近期出版的一些数学分析教科书上，关于隐函数存在定理的证明，使用了逐次逼近法。这种证法，不仅证明了隐函数的存在，而且包含了解的求法。我们使用逐次逼近造就出所要求的函数y=f（x），这在电子计算机得到广泛应用的今天，是很容易得到所要求的结果的，可见此证法较之传统的证明方法颇有可取之处。但这种证法，涉及的知识面很广，证明篇幅又长，初学者在晦涩的证明面前，常感到惘然，而不得要领。我就这一证明方法，作以剖析，希望能对初学者有所助益。
2.隐函数存在定理的证明分析
数学上任何命题，定理的讨论，都离不开对定理精细、透彻的分析。我们习惯用的分析方法是由结论找需知，具体说来，就是从“未知”出发，通过层层剖析，看“需知”什么，再根据“未知”和“已知”条件或隐含的“已知”条件之间的联系、转化，逐步“运用已知”想到“可知”。这种方法对于此定理的分析也是适宜的。
分析：
（1）因为我们限定在（x，y）某领域内找方程F（x，y）=0的解，可利用泰勒公式用线性函数来逼近函数F（x，y）：
F（x，y）=F（x，y）+F′（x，y）（x-x）+F′（x，y）（y-y）+0（ρ）
其中ρ=，所以在（x，y）附近，函数F（x，y）可近似看成线性函数（忽略0（ρ）），这样求方程F（x，y）=0的解，就近似相当于求线性方程：
F（x，y）+F′（x，y）（x-x）+F′（x，y）（y-y）=0的解。
需要注意的是：
首先，要使上式在（x，y）附近有解，必须F（x，y）=0，否则当动点（x，y）与（x，y）充分靠近时，上式第一项不为零，而后二项值可任意小，其和不能为零，即线性方程在（x，y）附近无解，于是我们得出线性方程在（x，y）附近有解的第一条件为：F（x，y）=0；
其次，使线性方程有解，还必须在（x，y）有一个偏导数不为0，比如F′（x，y）≠0，这样才能把y写成x的函数。这是线性方程在（x，y）附近有解的第二个条件。
由定理知，这两个条件均在题设中给出。
（2）以前讲到过求一元方程f（x）=0的近似根的切线法。出现过逐步迭代程序：
x=x-。
现在，在二元方程F（x，y）=0中，视x固定，容易想到下面迭代程序：
y=y-
为了使分母简单，固定（x，y），有
y=y-
其几何意义，可参看图3。
由于F′（x，y）≠0，为简便起见，不妨设F′（x，y）=1，则有：
y=y-F（x，y）?摇?摇（*）
（3）构造函数列：
由（*）式求出（x，y）附近的系列解
y=y-F（x，y）
y=y-F（x，y）
y=y-F（x，y）
…
y=y-F（x，y）
…
其中y=y（x）为连续函数（n=1，2，…），x∈［x-η，x+η］，F（x，y）=0的解y=f（x）为函数列{y（x）}的极限函数。其几何意义，可见图4。
（4）欲证函数列{y（x）}的极限函数f（x）为所求，需证明{y（x）}的收敛性。证明{y（x）}的收敛性，可等价考虑级数：
y（x）+{y（x）-y（x）}+{y（x）-y（x）}+…+{y（x）-y（x）}+…
亦记作y+（y（x）-y（x））?摇?摇?摇 （1）
的收敛性。
（5）要证明{y（x）}的极限函数f（x）在x某领域上连续，须证明（y（x）-y（x））一致收敛。为达此目的，我们借助M－判别法，判别级数（1）的一致收敛性，因此需要寻找一个在x某领域的收敛的正项级数a，且|y（x）-y（x）|≤a。
（6）由F（x，y）在（x，y）的连续性，确定η，同时由一致收敛级数的性质定理，可证得极限函数f（x）在［x-η，x+η］上连续，且y=f（x），则定理结论1）、2）分别得证。
（7）证明结论中的3），需证两点：
（i）F（x，y（x））=F（x，f（x））
（ii）F（x，f（x））=0
至此，隐函数的存在性及连续性已得证。
（8）证明满足1）—3）的f（x）唯一，可设另有（x）也满足1）—3），矛盾，得出（x）=f（x）。
上述分析，给我们的论证探索了途径，归纳起来，运用逐次逼近的思想证明隐函数存在定理，大致可分为下面几步。
（一）由y=y-F（x，y）出发构造函数列{y（x）}。
（二）证明{y（x）}?圯f（x），x∈［x-η，x+η］。
（三）证明f（x）即为所求隐函数，即分别证明f（x）满足定理结论中的1）—3），且唯一。
本文意在帮助初学者掌握这种新证法，而对此证明给出粗浅分析，详细证明，恕不赘述。至于此证法比起传统证法的可取之处，通过下列问题的解决，读者也可略见一斑了。
求出由F（x，y）=siny+shy-x在（0，0）点某领域内确定的隐函数y=f（x）。
［解法一］
我们对函数采取泰勒逼近法，求出y=f（x）。
因为sin y+shy=x，shy=在（0，0）点附近，由泰勒公式，有：
e=1+++++0（y）
e=1-+-++0（y）
shy=y++0（y）
siny=y-0（y）
所以shy+siny=2y+0（y）
在（0，0）附近siny+shy=x，即为
2y≈x，即y≈x/2。
对此问题，我们按照上述证明方法，再借助计算机，问题就更容易解决了。
［解法二］
设F（x，y）=siny+shy-x
而（x，y）＝（0，0）
F（x，0）=-x
则由（*）式，有：
y=x
y=x-（sinx+shyx-x）=2x-sinx-shx
y=2x-sinx-shx-［sin（2x-sinx-shx）+sh（2x-sinx-shx）-x］
=3x-sinx-shx-sin（2x-sinx-shx）-sh（2x-sinx-shx）
…
y=nx-sinx-shx-sin［（n-1）x-sinx-shx］-sh［（n-1）x-sinx-shx］
…
如果在（0，0）点的某领域［-，］给x一系列值，则得y=f（x）较精确的函数图像，如图5所示：
可见，用这种逐次逼近法，造就所求函数y=f（x），即使对f（x）无法用初等函数来表示的情况，我们也能获得较理想的函数图像表示。
3.结语
按照本文提出的分析论证思想来讲解隐函数存在定理的证明，我曾数度进行过这样的教学实践，都取得了良好的效果，证实了这种教学方法的可行性。
此外，从数学方法论方向对我们的启迪也是很大的，即在教学过程中应首先侧重形成教学概念的认识过程的思路分析，这才是探索真理和发现真理的有效途径。
参考文献：
［1］刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义.北京：高等教育出版社，1992.
［2］武汉大学数学系编.数学分析.北京：人民教育出版社，1978.
［3］华东师范大学数学系编.数学分析.北京：人民教育出版社，1981.
曾伟梁系通讯作者：zengwl1002@126.com
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