摘要: 近几年高考数学试题中出现了大量与高等数学衔接紧密的问题,主要表现在它们或以高等数学符号、概念直接出现,或以高等数学的概念、定理作为依托融于初等数学知识中,或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法。本文对2010年高考中的高等数学背景进行了分析和探讨。
关键词: 2010年高考 高等数学背景 分析
近几年高考数学试题中出现了大量与高等数学衔接紧密的问题,主要表现在它们或以高等数学符号、概念直接出现,或以高等数学的概念、定理作为依托融于初等数学知识中,或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法。此类题目的设计虽然来源于高等数学,但一般起点高,落点低,其解决方法还是中学所学的初等数学知识,较易突破,它能宽角度、多观点地考查学生基本的数学素养,有层次地深入了解学生数学理性思维和进一步深造的潜能。本文对2010年高考中的高等数学背景进行了分析。
一、微分学中的拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理:“若函数f(x)在闭区间上连续,且在开区间(a,b)内具有导数,则(a,b)内存在一点ξ,使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立。”
例1.(2010辽宁理科第21题)已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax+1,
(I)讨论函数f(x)的单调性;
(II)设a<-1,如果对任意x,x∈(0,+∞),|f(x)-f(x)|≥4|x-x|,求a的取值范围。
解析:(II)f′(x)=+2ax,而f(x)-f(x)=f′(ξ)(x-x),ξ∈(0,+∞),
由|f(x)-f(x)|≥4|x-x|,即要证|f′(ξ)||x-x|≥4|x-x|即|f′(ξ)|≥4。而由x,x∈(0,+∞),且x,x的任意性知,对ξ∈(0,+∞),由a<-1知|f′(ξ)|=+2aξ≥2,若2≥4,显然有|f′(ξ)|≥4成立,解不等式2≥4得a≤-2或a≥1,而已知a<-1,故a≤-2。
二、距离空间
定义1:设X为非空集合,二元实值映射d:X×X→R若满足:?坌x,y,z∈R有:
(1)d(x,y)≥0,d(x,y)=0?圳x=y;
(2)d(x,y)=d(y,x);
(3)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)。
则称d为X上的一个距离函数,d(x,y)为点x,y间的距离,装备了距离的集合称为距离空间,记为(X,d)。
有了距离,就可在抽象的距离空间中,借用R,R,R中的几何术语和几何直观,几何方法去建立和理解有关理论。
例2.(2010广东理科第21题)设A(X,Y),B(X,Y)是平面直角坐标系xOy上的两点,先定义由点A到点B的一种折线距离P(A,B)为P(A,B)=|x-x|+|y-y|。
对于平面xOy上给定的不同的两点A(X,Y),B(X,Y),
(1)若点C(x,y)是平面xOy上的点,试证明P(A,C)+P(C,B)≥P(A,B)。
(2)在平面xOy上是否存在点c(x,y),同时满足P(A,C)+P(C,B)=P(A,B);P(A,C)=P(C,B)。若存在,请求所给出所有符合条件的点;若不存在,请予以证明。
证明:由绝对值不等式知,
P(A,C)+P(C,B)=|x-x|+|x-x|+|y-y|+|y-y|
≥|(x-x)+(x-x)|+|(y-y)+(y-y)|
=|x-x|+|y-y|=P(A,B)。
当且仅当(x-x)(x-x)≥0,(y-y)(y-y)≥0时等号成立,
由P(A,C)+P(C,B)=P(A,B)得(x-x)(x-x)≥0,(y-y)(y-y)≥0,
由P(A,C)=P(C,B)得|x-x|+|y-y|=|x-x|+|y-y|,变形得:|x-x|-|x-x|=|y-y|-|y-y|,即|x-x|-|x-x|=|y-y|-|y-y|。故有||x-x|-|x-x||=||y-y|-|y-y||。又由(x-x)(x-x)≥0,(y-y)(y-y)≥0得:|(x-x)-(x-x)|=|(y-y)-(y-y)|,即|2x-x-x|=|y+y-2y|。故x-=y-,为C点坐标满足的条件。显然,点C是线段AB的中点。x=,y=,即存在点C(,)满足条件。
例3.(2010北京理科第20题)已知集合S={X|X=(x,x,…,x),x∈{0,1},i=1,2,…,n}(n≥2)对于A=(a,a,…,a),B=(b,b,…,b)∈S,定义A与B的差为A-B=(|a-b|,|a-b|,…|a-b|);A与B之间的距离为d(A,B)=|a-b|。
(Ⅰ)证明:?坌A,B,C∈S,有A-B∈S,且d(A-C,B-C)=d(A,B);
(Ⅱ)证明:?坌A,B,C∈S,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数;
(Ⅲ)设P?哿S,P中有m(m≥2)个元素,记P中所有两元素间距离的平均值为(P),证明:(P)≤。
证明:(I)设A=(a,a,…,a),B=(b,b,…,b),C=(c,c,…,c)∈S,
因为a,b∈{0,1},所以|a-b|∈{0,1}(i=1,2,…,n),
从而A-B=(|a-b|,|a-b|,…,|a-b|)∈S。
又d(A-C,B-C)=||a-c|-|b-c||,
由题意知,a,b,c∈{0,1}(i=1,2,…,n)。
当c=0时,||a-c|-|b-c||=|a-b|;
当c=1时,||a-c|-|b-c||=|(1-a)-(1-b)|=|a-b|,
所以d(A-C,B-C)=|a-b|=d(A,B)。
(II)设A=(a,a,…,a),B=(b,b,…,b),C=(c,c,…,c)∈S,
d(A,B)=k,d(A,C)=1,d(B,C)=h。
记O=(0,0,…,0)∈S,由(I)可知:
d(A,B)=d(A-A,B-A)=d(O,B-A)=k,
d(A,C)=d(A-A,C-A)=d(O,C-A)=l,
d(B,C)=d(B-A,C-A)=h。
所以|b-a|(i=1,2,…,n)中1的个数为k,|c-a|(i=1,2,…,n)的1的个数为l。
设t是使|b-a|=|c-a|=1成立的i的个数,则h=l+k-2t。
由此可知,k,l,h三个数不可能都是奇数,
即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数。
(III)(P)=d(A,B),其中d(A,B)表示P中所有两个元素间距离的总和,设P种所有元素的第i个位置的数字中共有t个1,m-t个0,
则d(A,B)=t(m-t)。
因为t(m-t)≤(i=1,2,…,n),
所以d(A,B)≤。
从而(P)=d(A,B)≤=。
三、三种基本数学结构
三种数学结构:代数结构,序结构,拓扑结构。其中以群、环、域等常见代数结构为背景命题。
例4.(2010四川理科第16题)设S为复数集C的非空子集。若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集。下列命题:
①集合S=|a+bi|(a,b为整数,i为虚数单位)为封闭集;
②若S为封闭集,则一定有0∈S;
③封闭集一定是无限集;
④若S为封闭集,则满足S?哿T?哿C的任意集合T也是封闭集。
其中真命题是?摇?摇?摇 ?摇?摇?摇?摇(写出所有真命题的序号)。
解析:直接验证可知①正确。当S为封闭集时,因为x-y∈S,取x=y,得0∈S,②正确。对于集合S={0},显然满足素有条件,但S是有限集,③错误。取S={0},T={0,1},满足S?哿T?哿C,但由于0-1=-1∈T,故T不是封闭集,④错误。
答案:①②。
四、函数的凸凹性
设函数f(x)定义在区间(a,b)上,若对于任意的两点x,x,且x,x∈(a,b),若存在实数λ,且0<λ<1都有f[λx+(1-λ)x]≤λf(x)+(1-λ)f(x),则称f(x)是(a,b)内的凸函数。特别的,当λ=时,上式为f≤。类似有凹函数的定义,函数的凸凹性是数学分析中较为重要的概念,在高考和竞赛中屡见不鲜。
例5.(2010陕西理科第20题)已知函数f(x)=,g(x)=alnx,a∈R,
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有共同的切线,求a的值和该切线方程。
(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时,求其最小值φ(a)的解析式。
(3)对(2)中的φ(a)和任意的a>0,b>0,证明φ≤≤φ′。
解析:第(3)中要证φ′≤,即要证关于a的函数φ′(a)为凸函数。可以借用高等数学中证凸函数的方法(将函数求二次导数后,若大于0则为凸函数)证明。
五、高斯函数
y=[x]([x]表示不超过实数x的最大整数,称为高斯函数或取整函数,在各级竞赛和高考中可谓常客)。
例6.(2010陕西理科第10题)某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表,那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(B)。
A.y= B.y= C.y= D. y=
六、以数学分析中的级数为背景
如2005年高考湖北理科第22题以调和级数和高斯函数为背景。利用绝对值不等式进行放缩这种题型屡考屡新,在这种题型里面渗透高等数学思想,以高等数学中的相关知识为背景命题。如以级数收敛性判定定理及方法,压缩映射原理及柯西收敛准则等。如2006年高考广东卷理科第20题。
例7.(2009湖南理科第21题)对于数列{u}若存在常数M>0,对任意的n∈N,恒有|u-u|+|u-u|+…+|u-u|≤M则称数列{u}为B-数列。
(1)首项为1,公比为q(|q|<1)的等比数列是否为B-数列?请说明理由。
解(1):设满足题设的等比数列为{a},则a=q,于是|a-a|=|q-q|=|q||q-1|,n≥2,
因此|a-a|+|a-a|+…+|a-a|=|q-1|(1+|q|+|q|+…+|q|)。因为|q|<1,所以1+|q|+|q|+…+|q|=<,即|a-a|+|a-a|+…+|a-a|<。
故首项为1,公比为q(|q|<1)的等比数列是B-数列。
例8.(2009陕西理科第22题)已知数列{x}满足,x=,x=,n∈N。
(Ⅰ)猜想数列{x}的单调性,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明:|x-x|≤()。
证明(1)由x=及x=得x=,x=,x=,由x>x>x猜想:数列{x}是递减数列。下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,已证命题成立。
(2)假设当n=k时命题成立,即x>x,
易知x>0,那么x-x=-=
=>0,即x>x。
也就是说,当n=k+1时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立。
(2)当n=1时,|x-x|=|x-x|=,结论成立。
当n≥2时,易知0
∴(1+x)(1+x)=(1+)(1+x)=2+x≥,
∴|x-x|=-=
≤|x-x|≤()|x-x|≤K≤()|x-x|=()。
七、以函数的不动点,组合数学中递推数列,特征根和特征方程为背景。
如2007广东高考理科第21题,2008广东高考理科第21题,2009年江西理科第22题(略)。
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