分数阶微分方程的数值算法:现状和问题

一些复杂力学过程的经验公式经常表现为幂律函数形式,相应的力学本构关系不满足标准的“梯度”律,如Darcy律、Fourier热传导和Fick扩散等.这些力学过程有明显的记忆、遗传和路径依赖性质.经典的整数阶导数在描述上述问题时需要构造非线性方程,引进一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件,并且有时因材料或外界条件引发的微小改变就需要构造新的模型,同时这些非线性模型无论是理论求解还是数值求解都非常繁琐.分数阶微分算子因为可以简洁、准确地描述具有历史记忆性和空间全域相关性等力学与物理过程,且分数阶导数建模简单、参数物理意义清楚、描述准确,因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一.

近年来分数阶导数已成为描述各类复杂力学与物理行为的重要工具,因而分数阶微分方程的数值算法研究也备受关注.分数阶导数在数学上的1个主要特点是它的非局部性,因而分数阶导数力学控制方程数值模拟的计算量和存储量极大,相应的计算力学方法研究在国际上尚处于起步阶段,目前只能模拟一些小规模简单问题.即使用高性能计算机,也很难进行长时间历程或大计算域的模拟.大量的研究成果表明分数阶导数的数值离散不能像处理整数阶导数那样采用单步法随意截断.为了减少数值计算量、提高计算效率,一些学者提出所谓的短期记忆(short memory)算法.即为了减少计算量,在数值离散时,仅考虑该时刻以前有限时间段的影响,这类似于标准整数阶常微分方程数值解中的多步法.可是,英国FORD教授等发现短期记忆算法在某些问题上表现出计算不稳定性.此外,分数阶导数力学动力系统的计算稳定性至今还缺乏系统的分析研究.

目前,分数阶微分方程数值算法还不成熟,主要表现为:(1)在数值计算中一些挑战性难题仍未得到彻底解决,如长时间历程的计算和大空间域的计算等;(2)成熟的数值算法比较少,现在研究较多的算法主要集中在有限差分方法与有限单元法;(3)未形成成熟的数值计算软件,严重滞后于应用的需要.鉴于此,发展新数值算法,特别是在保证计算可靠性和精度的前提下,提高计算效率,解决分数阶微分方程计算量和存储量过大的难点问题,发展相应的计算力学应用软件成为迫切需要关注的课题.

鉴于以上问题,在研究分数阶微分方程的数值算法时,算法计算量成为大家最关心的问题,也是现在仍未彻底解决的难点问题.除此之外,算法的计算精度与稳定性也是衡量算法优劣的重要标准.围绕分数阶微分方程的数值求解,研究人员开发出许多数值算法.这些数值方法包括显格式、隐格式、CrankNicholson格式、预估—校正法和积分方程法等有限差分分类方法,也包括一些有限元法与无网格方法,还包括PODLUBNY等提出的矩阵方法等.

此外,分数阶导数的定义主要有3种形式,包括GrunwaldLetnikov定义、RiemannLiouville定义和Caputo定义,其中:Caputo定义多用于表示时间分数阶导数;RiemannLiouville定义在数学上更为严格,但是在实际的数值计算中因为它要考虑分数阶的初边值条件,所以在数值计算中较难处理;RiemannLiouville导数定义的表达式如下:dαf(t)dtα=1Γ(m-α)ddtn∫ta(t-τ)m-1-αf(τ)dτ,n-1≤α

现在,在分数阶常微分方程的数值计算方面,比较成熟高效的算法是预估—矫正法,而在分数阶偏微分方程的数值计算中,有限差分法依然占有主导地位,同时有限差分法与有限元法、无网格方法等相结合,可以获得许多高精度稳定算法,这也是现在和将来算法研究的热点.同时,与时间分数阶微分方程的算法进展相比,空间分数阶微分方程的数值算法更不成熟.有限元、有限体积和有限差分等占统治地位的空间偏导数离散方法本质上是局部支持的算法,应用于计算非局部的分数阶空间微分方程存在困难.现阶段,有限差分法主要应用于数值求解一维空间分数阶微分方程,二维与三维问题的求解还少见报道.另外,变导数方程的数值算法研究很少,相关的学术文章数量还是个位数,是分数阶导数方程数值算法研究的新领域.

目前,分数阶微分方程的数值算法研究近年来虽然取得一些进展,但还不成熟,还存在较多的困难和尚未解决的问题.基于既往的研究经验和知识,分数阶微分方程数值计算研究的重点和方向有以下5个方面:

(1)时间和空间分数阶微分方程的快速算法;

(2)分数阶微分方程计算的基本计算数学理论;

(3)高维空间分数阶拉普拉斯算子方程的离散算法;

(4)变导数方程和分布式导数方程的数值算法研究;

(5)分数阶导数方程的计算力学软件的开发.

作者简介:陈文,1967年生,博士,教授,博士生导师,河海大学工程力学国家重点学科主任,“国家工科基础课程(力学)教学基地”建设小组组长;获得过杜庆华工程计算方法奖 (2009),Humboldt Research Fellowship for Experienced Researchers(2009),Australian Leadership Awards Fellowship(2008),教育部“新世纪优秀人才支持计划”奖(2006)和JSPS(日本学术振兴会)Research Fellow Award(1998);组织过3次国际会议和1次国内会议;现担任Computers, Materials and Continua和Engineering Analysis with Boundary Elements等SCI源期刊和《计算机辅助工程》等国内期刊编委;现任中国力学学会环境力学专业委员会秘书长、计算力学专业委员会委员.已发表期刊文章70余篇,其中被SCI收录40余篇,SCI他人引用400余次,单篇他引最高81次;主要研究方向为计算力学及其软件、软物质力学本构模型.

孙洪广,1982年生,河海大学工程力学系博士研究生,研究方向为环境力学中反常扩散问题的建模与数值计算.2007年7—10月,在挪威奥斯陆大学进行短期学术访问;2009—2010年,作为联合培养博士生在美国犹他州立大学学习1年.已发表学术论文10余篇,其中SCI学术期刊论文7篇;与陈文教授合著专著1部.

推荐访问： 微分方程 数值 算法 分数 现状