摘 要: 一般化化归是化归方法论中一种基本思维方式,不仅为研究高等数学问题提供了一种基本思想,而且是创新的数学理论的一种基本方法。
关键词: 高等数学 一般化化归 化归思维 应用
将待解决的具体问题通过转化归结到已经解决或者比较容易解决的问题,最终求得原问题的解答,是研究数学问题时常用的思维方式。虽然研究的具体问题各不相同,解决问题的方法也相互迥异,但其思维方式是相似的,即研究问题的思维过程是避开对问题的正面进行研究,而将研究的问题进行不断的转化,将其归结为已经解决或者相对容易解决的问题。
这种思维方式我们称之为“化归”,化归的含义是指转化与归结,是在不同的具体问题之间实现从未知到已知、从困难到容易,从复杂到简单的某种转化,并在具体问题之间建立对应关系。化归思想是数学方法论中的基本方法之一,同时也是自然科学中寻找真理、发现真理与解决问题的典型创新思维方法。
数学中比较常用的化归思维方法是一般性化归。一般性和特殊性是自然界物质存在的普遍性质:一般性论述了相似问题所具有的共性,揭示了相关数学概念、问题之间的联系;特殊性论述了具体问题、概念所具有的特有的特征,反映了特定数学概念、问题本质属性。相对于一般性而言,特殊性使问题表现得具体、直观和简单,并为人们所熟知。相对于特殊性而言,一般性比特殊性更能反映出本质,具有深刻的意义,使人们能在更为广阔的领域内使用更高层次上的思想和方法去分析研究问题。
通过辩证法思想可知,一般性存在于特殊性之中。根据这一思想,在研究数学问题、学习数学概念时,应该分析与考虑能否将待解决的数学问题化归为一般性问题去研究和思考。这种思维方式是可行的,从特殊的数学问题中去发掘问题一般性的特征,且该特征为人们所熟悉,这种思维方式称为由特殊到一般的化归,简称为一般化化归。
一般化化归思维方式在高等数学中有着极其广泛的应用,是创新新理论的基本方法之一。现以Fermat定理为基础,证明Roll中值定理及Lagrange的关系为例,来研究化归思想中的一般化在解决数学问题的应用。
Fermat定理:若函数在点的邻域内有定义,且在点可导。若为f的极值点,则有f′(x)=0。
Roll中值定理:若函数f(x)满足如下条件:
1)f(x)在闭区间[a,b]上连续;2)f(x)在开区间(a,b)内可导;3)f(a)=f(b),则在[a,b]内至少存在一点ξ,使f′(ξ)=0。
分析:定理的结论:在[a,b]内至少存在一点ξ,使f′(ξ)=0。考虑一般性:根据导数概念,若在[a,b]上f(x)=C(常数),则结论成立;根据Fermat定理,若在[a,b]上至少存在一个极值点,则结论同样成立。综上所述,从而得到如下的证明方法。
证明:
(1)若f(x)=C(C为常数),则?坌ξ∈f(x),恒有f′(ξ)=0。
(2)若f(x)≠C,因为f(x)在闭区间[a,b]上连续,由最值定理,f(x)在闭区间[a,b]必然存在最大值M和最小值m,且至少一个不在端点处取得。不妨设最大值不在端点处,则最大值必是极大值,令f(ξ)=M,由Fermat定理,f′(ξ)=0。证毕。
运用一般化思维方式对Roll中值定理思考,不仅让我们清楚地得到该定理的结论,而且为我们证明数量关系提供了方法。事实上,依据自身知识结构,运用一般化思维方式不仅能够解决复杂的数学问题,而且可以对已有的概念、定理,减少、改变、弱化条件创新出更多的概念、定理。例如,将Roll中值定理的条件3)去掉,便得到了Lagrange中值定理。
一般化思维方式创新过程如下:
(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,(ξ与a,b有关),使得f′(ξ)=。
Lagrange定理的几何意义:因为右面表示连接端点A(a,f(a)),B(b,f(b))的线段所在直线的斜率,定理表示,如果f(x)在[a,b]上连续,且除端点A,B外在每一点都存在切线,那么至少有一点P(ξ,f(ξ))处的切线与AB平行。
与Roll定理(图1)比较,可以发现Lagrange定理(图2),是罗尔定理把端点连线AB由水平向斜线的推广,是将Roll定理一般化化归的结果。
下面我们再用一般化化归来研究个例题。
例题:设函数f(x)在闭区间[a,b]上可导,证明:对于?坌x∈(a,b),?埚c∈[f′(a),f′(b)],使得f′(x)=c。
分析:问题的结果:对于?坌x∈[a,b],?埚c∈[f′(a),f′(b)],使得f′(x)=c;考虑一般性:根据问题条件,显然与微分中值定理较为相似,但又有所不同,微分中值定理的结论在开区间(a,b)成立,该问题的结果在闭区间[a,b]成立。考虑f′(x)=c可以化为f′(x)-c=0,则可将问题化归为可用Fermat定理求解的问题。
证明:不妨设f′(a) 针对每一个具体研究的问题如何去具体实现一般化化归过程,以及能否依靠一般化化归原则解决问题,这既要在总体上作多方面的探索,又要在具体实现一般化化归的过程中有种种创新思维的运用。也就是说,在实现一般化化归的过程面临着如何寻找正确的化归途径与怎样选择恰当的转化手段,这主要取决于研究问题人对于问题的认识程度和其所具备的知识结构。 参考文献: [1]盛祥耀.高等数学.北京:高等教育出版社,2007. [2]邵剑.高等数学专题梳理与解读.上海:同济大学出版社,2008.
