“去问问大自然吧，它保有全部的秘密，一定会把你提出的问题回答得相当满意的。”
——罗巴切夫斯基
三角形内角和也可以不等于180°
“过已知直线外的一个已知点只能作一条直线使它和已知直饯平竹”。”三角形内角和等于180°”。这是人们非常熟悉的事实，是欧几里得几何中的公理，是中学数学的基本知识，它的正确性巳在实践中经过千万次的考验。然而三角形内角和等于180°是绝对的、不可改变的概念吗q不是的。如果三角形是在球面上，就很容易看出上述定理不能成立了，它的内角和总是大于180°（图一a）。例如在地球上，由两条经线和一条纬线相交而成的三角形中，两个底角就是两个直角，而頂角的数值则可在0°到360°之间（图一b）。又如果三角是在凹下的曲面上，它的内角和就总是小于180°（图二a），例如在鞍形面上（图二b）。
当人们从三角形内角和不等予180°的概念出发时，便推导出一系列非常严密的新几何体系，就是后面提到的罗巴切夫斯基几何（小于180"）和黎曼几何（大于180°）。而且在天体测量及原.子物理学等领域里比欧氏几何还更符合实际。
但是，这一新的“非欧几何”的出现，却是经过一段非常艰苦漫长的历程的。这圃然是由于前人生活、观察到的空间比较狭小，但更重要的原因，是人们都习惯无条件地崇拜欧几里得的权威。
欧氏几何的“瑕疵”
欧几里得足古希腊数学家，他在公元前三百年间，把许多几何事实统一起来，把他们按照逻辑柄.关的顺序排列起来，编著成《几何原本》，使几何学的命题有了完整而又吊统的叙述，并从定义、公.理出发，椎导出一整套定理来。他的这一著作成了后世人学习几何知识的唯一书籍，他的成就也得到了很高的评价。
但是他的《几何原本》里，有一条公理（即第五公理）说：”若两直线和第三直线相交且在同一侧所构成的两个同侧内角之和小于两直角，则把这两线向这一侧适当地延长之后一定相交。”（在我们中学课本里，已用它的等价公理——过巳知直钱外的一个已知点只能作一条直线使它和巳知直线平行一所代替。）人们觉得，这条公理非常贄繁，看起来似乎更象一条定理。特别是它的逆命题根本就是《几何原本》里面的第十七条定理：“三角形任意两内角和必小于两个直角。"所以，欧几里得本人可能就很不满意它，在“原木”里他企图尽可能拖延这条公理的出现，直到要证明第二十九条定理（即平行线的内错角相等）时，才第一次不得不应用它，而且以后也没有应用了。
自此以后的二千年当中，不少人赏试由其他公理推导出这条公理来，使它变成定理，或者賞试捉出另一个更显浅的公理去替代它。但是，所有这些努力邯失败了。他们在证明中不是不自觉地用了与“第五公理”有关的结果，就是提出的公理与“第五公理”是逻辑等价的。
萨凯里走到了新体系的面前，但却后遇了！
到了1730年左右，意大利数学家萨凯里写了一本书，叫做《除去欧几里得的一切瑕疵》。他提出了这样的想法：在图四所示的四边形ABCD中，∠A和∠B都是直角，而且AD=BC。不用“第五公理”不难证明∠C=/D。现在只要再证明它们都等于直角，四边形ABCD四个内角和就是四直角了，这样就容易进一步证明，三角形三内角和等于180°（两直角），“第五公理”就可以变成定理。
他为了用反证法证明这个结论，作出了三个假设，即：①∠C=∠D都小于一个直角
②∠C=∠D都等于一个直角
③∠C=∠D都大于一个直角
现在，他只要否定了①和③的正确性，问题就.得到解决了。⑨的正确性很快就否定了，然而在否定①的结论过程中，他引出了一系列互相诣和的命题，但他过于迷信“第五公理”的正确性，只想找出否定①的正确性的论证来，并不考虑这些新推出的命题至少在逻辑上与欧氏几何一样可以成立。结果是，他已经荻得了新几何体系的根源，而自已却不知道，因而提不出非欧几何的新学说，致使非欧几何的诞生推迟了一百多年！他的一系列命题后来虽然都进入了非欧几何学中，他的工作客观上也成了非欧几何的先驱。但是，他那迷信权威，因循守旧的思想所造成的后果，这是非常值得吸取的一个教训。
畏权威，高斯、鲍里埃湮没了
二千多年来，为了证明“第五公理"，千百人千万次赏试郁没有成功，人们开始怀疑到这个问题的可能性。到了十九世纪二十年代，二十一岁的匈牙利青年数学家鲍里埃把“第五公理"换成它的自身的否定，即从“三角形内角和小于180°”这个假定出发，由此建立了另一套完整无矛盾的几何。但是，不幸得很。当鲍里埃的父亲把儿子的成绩告诉德国大数学家高斯时，高斯回信说;"如果我一开始便说我不能称赞这些成果，你一定会感到惊讶。但是，我不能不这样说，因为称赞这些成果就等于称赞我自己。你儿子的这些工作，他走过的路，和.他所获得的结果，跟我在过去三十至三十五年间的沉思所得的几乎是一模一样。我自己的著价，虽然写好的只是一部份，本来也不愿发表，现在有了老朋友的儿子能够把它写下来，免得它与我一同湮没，那是使我非常高兴的。”这计回信，大大打击了鲍里埃，他认为高斯在借已有的权威争他的优先权。也由于他的工作没有得到人们的理解、网情和精神上的支持，鲍哩埃陷入失望，竞从此抛弃了一切数学的研究。那么，高斯为什么不原久表他的研究成果呢？照他自已的话讲，是“怕引忙呆些人的喊聲”。事实上，他是屈服于传统势力，为了自己的利害关系，把人类文化的重要进步弃之不顾。
罗巴切夫斯基冲向新的起点
与此同时，俄国的年轻数学家罗巴切夫斯基也进行了新几何学的研究。他说：“……直到今天为止，几何学中的平行线理论还是不完全的。从欧儿里得时代以来，两千年来的徒劳无益的努力，促使我怀疑在概念本身之中并未包括那样的真情实况”。于是，他从否定欧氏几何的第五公理开始，认为：“过已知直线外一点至少可作两条直线和巳知直线不相交。”这个命题看起来与我们的直观不相行。但是，我们如果设想有一个这样的圆，圆的内部叫做平面，圆内的弦叫做直线;我们又设想把这个圆的直径不断增大以致无穷，同时把它的圆周和圈外的区域排斥在讨论之外。这样就可以看到：“过巳知弦（直线）BC外一点2.至少可作两条弦（直线）BD、CE和巳知弦（直线）BC不相交”的真实性是明显的了（图五）。罗巴切夫斯基依据这一公理和其它与欧氏几何相同的公理，提出了一门新的几何学。于1826年2.月11日正式宣读了论文。这一天被后世人公认为是“非欧几何的诞生日”。
但是在当时，罗氏的发现却是没有得到应有的反映。他的报告不但得不到当局的赞许，甚至连他上送的这份论文原稿也失掉了。就是到了1832年，俄国科学院对罗巴切夫斯基的著作，审批结语还是认为“不值得科学院夫注意”然而，就是在这恶劣的环境下，罗氏还是坚信他的结论的正确性和熏要性，不遗余力地勇敢捍卫它。从51826年发表了这，一几何新休系后，以后又陆续出版了《关于儿何原本》等八木著作。
罗氏尽了最大的努力，甚至眼睛差不多瞎了，还在口授他的最后著作《泛几何学》。然而由于在实践中得不到检验和应用，加之人们受欧氏空间的束缚，所以并未得到多数人的承认。
路遥知有用日久见理真
一直到1854年，德国数学家黎曼在哥廷根大学宣读《关于作为几何学基础的假设》的论文时，在听众中除掉当时已经年老的高斯外，没有任何人能听懂它。黎曼几何是继罗巴切夫斯基之后，非欧几何发展中极重要的一步。然而黎曼的工作也同样遭到了被埋没的命运。真理需要实践进行检验，真理需要时间去考验。又过了十四年，到黎曼逝世后两.年，即1868年，忘大利数学家贝尔特拉米在《非欧几何学的实际的解释》中，给出了非欧几何可以在欧氏空间的曲面上的第一次解释;1870年，又出现了德国数学家克莱因的第二个解释。他把欧几里得几何叫做抛物几何，因为它的直线有着一个无穹远点，正象抛物线有着一个无穹远点一样;把罗曼切夫斯基几何叫双曲几何，因为它的直线有着两个无穹远点，正象双曲线有着两个无穹远点一样;把黎曼几何叫做椭圓几何，因为它的直线没有无穹远点，就象椭圆没有无穹远点一样。欧氏几何和非欧几何在空间概念上，不同的只是“曲率”不同。零曲率的空间是欧儿里得空间（类似平面）（参看图三），它的三角形内角和等于180°;负曲率的空间是罗巴.切夫斯基空间（类似马鞍面），它的三角形内角和小于180°（参乔图二）;正曲率的空间是黎曼空间（类似球面），它的三角形内角和大于180°（参看围一）。非欧几何的极限情况（即在充分小的区域里）正好是欧氏几何。于是非欧几何的思想开始被人们所接受。
以非欧几何的发明为基础，从而推广了几何学概念的这一工作的实际意义，在二十世纪初，表现得最为突出，并且对于在那个时期所发生的关于空间和时间的物理观念的改革，起了重大的作用。这个改革产生了“相对论”，特别值得一提的是爱因斯坦为建立“广义相对论”时，曾经遇到很大的数学上的困难。他不得不用七年的时间未钻研非欧几何，如果不是非欧几何产生在“相对论”之前，这个困难将是难以克服的。
非欧几何由于在相对论、天文观测以及原子物理学等领域得到了检验和广泛的应用，人们就清悲地看到了它是科学的真理，它是现实世界空间形式的一種真实反映而接受下来。
给后来者的启示
非欧几何的发现，说明了破除迷信，解放思想的重要性。萨凯里过份迷信权成，因循守旧，不敢自闯新路;高斯早就有了非欧几何的构想，而且取得了不少成果，但是他“怕引起某些人的喊声”，怕触犯传统的旧势力，一辈子也没有公开自已的见解;鲍里埃已创立了非欧几何，但因为个人名利思想在作怪，陷入绝望之中。事实说明，只有那些勇于创新而又不怕担风险，敢于斗争的人才能取得最后胜利。正如伽利略晚年说的：“追求科学，需要特殊的勇敢。”
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