摘 要： 培养学生运用数学知识解决实际医学问题的能力是医学数学教育的一个难点。本文针对当前医学数学教学中存在的问题，阐述了在医用数学教学中渗透建模思想的途径和方法，以及在医学数学中如何进行数学模型案例教学的问题。
关键词： 医学数学教学 数学模型 数学建模
1.引言
数学方法已成为现代医学科研中不可缺少的工具，医学和数学相互渗透使得医学科学中的许多定性问题能够定量研究，即能够有效地探索医学科学领域中物质的质与量关系的规律性，推动医学科学突破狭隘经验的束缚，向着定量、精确、可计算、可预测、可控制的方向发展，并由此逐渐派生出生物医学工程学、数量遗传学、药代动力学、计量诊断学、计量治疗学、定量生理学等边缘学科。此外预防医学、基础医学和临床医学等传统学科也都在试图建立数学模型和运用数学方法来探索其内在规律。但目前在一般医学院校里传统的数学教学模式与医学严重脱节，仅开设高等数学等课程，而没有注意训练学生如何从实际医学问题中提炼出数学模型，以及如何将数学分析的结果用来解决实际问题，其后果是学生学了不少数学，但不会“用数学”。因此教师有必要改进现行的数学教学模式，在医学数学教学中融入数学建模思想和方法，使数学与医学能有机地结合起来。
数学建模，简而言之就是通过建立数学模型来解决各种实际问题的过程。如力学中的牛顿定律、电磁学中的麦克斯韦方程组、生物学中的孟德尔遗传定律等都是经典学科中应用数学模型的典型范例［１］。20世纪下半叶以来，随着计算机的发展，数学模型在医学上的应用也取得了一些可喜的成果，最引人注目的是医疗诊断专家系统［２］。值得一提的是1974年丹麦免疫学家Niels K.Jerne在他的论文《关子免疫系统的网络学说》中揭示了现代医学科研的新模式：医学问题—数学化（定量分析）—数学模型—反馈修正（实践检验）—定性理论。这就启发我们可以将医学高等数学的教学与数学建模结合起来，在教学中渗透建模的思想。这样不但能够激发学生学习数学的兴趣，而且能提高学生将数学、计算机等方面的知识应用于医学实践的能力。
2.医学数学教学中存在的问题
由上可知，当医学插上数学与计算机这两支“翅膀”时，医学的发展出现了奇迹般的飞跃。然而，为医学领域输送人才的医学院校，医学数学的教学模式却远不能适应这一发展需求。其主要存在以下几个问题。
2.1医学数学课程内容单调和过于理论化
首先，大多数医学院校医学数学课程中理论联系实际的例子太少，而且只涉及微积分、简单概率统计和简单微分方程，没有考虑增加现代数学发展的很多有意义的分支内容，如模糊数学、粗糙集、神经网络等，这在一定程度影响了学生把实际医学问题抽象为数学模型的能力。其次，某些教师在医学数学教学过程中过多强调数学理论推导或论证，却不能将这些知识放在医学背景中拓展，导致医学数学课程实际上变成纯数学课程。最后，部分学生认为数学太深奥，与自己的专业没有多少联系，因此认为学习数学对他们来说没有什么意义。
2.2医学数学的教学与计算机技术脱节
在医学数学的内容中有很多抽象理论，涉及的计算过程相当繁琐，往往人工计算难以进行。这时需要借助计算机，利用数学软件Maple、Mathematica、Matlab、SPSS、SAS等对模型进行计算分析。然而在目前的教学过程中教师很少把这些数学软件的运用对学生进行讲授，有些教师虽然介绍了这些数学软件，但很少让学生动手操作。最后导致一些学生即便已经了解理论，但对实际问题计算分析却难以进行下去。因此笔者认为，对医学学生学习数学的要求应该是：了解数学方法，熟悉医学实际问题，并能将其简化为简单的数学模型，而且会用计算机对模型进行计算分析。
3.如何在医学数学教学中渗透数学建模的思想
3.1在概念引入教学中融入建模思想
在实践中能够直接运用数学知识去解决实际问题的情况是很少的，而且如何用数学语言来描述所面临的实际问题也往往不是轻而易举的。使用数学知识解决实际问题的第一步就是要从实际问题的看起来杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学关系，即数学模型。组建数学模型，不仅要进行演绎推理，而且要对复杂的现实情况进行归纳、总结和提炼。这就要求我们必须改变传统数学教学只重视推理的教学模式，突出对数学结论的理解与应用，精简一些深奥的数学理论，简化复杂的抽象推理，强调对数学结果的说明、直观解释和应用举例等，逐步训练学生学会用数学的知识与方法解决实际问题［３］。
高等数学中的概念相比初等数学中的概念更为抽象，如极限、连续、导数、定积分等，学生在开始学习这些概念的时候总想知道这些概念的来源和应用，希望在实际问题中找到概念的原型。事实上，在高等数学的微积分概念的形成中本身就渗透着数学建模思想。因此在概念引入教学中教师应创设与概念紧密联系的实际问题情境，让学生了解概念的来龙去脉，同时展现从实际问题中抽象出数学概念的过程，引出数学概念，建立数学模型。
例如在导出定积分的概念时，设计如下教学过程：实际问题：如何求变速直线运动的路程？
问题提出后，教师要引导学生建立模型。如果速度是不变的，那么路程＝速度×时间。但是这里的速度不是一个常数，所以上述公式不能用。我们可以这样考虑：把时间段分为许多小区间，当时间段分割得足够小时，由于速度的变化是连续的，可以认为各小区间段内的速度是匀速的，即小区间内的速度看作是一个常数，用这一小段的时间乘以速度就是这一小段的近似路程，把所有小段时间的路程加起来就得到路程的近似值。要想得到精确的值，就要把分割无限地加细，使每个小区间段的长度都趋于零，这时所有小区间段上的路程之和的极限就是所求的路程。
3.2在医学应用问题教学中渗透建模思想
由于医学问题的复杂性和医学生数学知识的局限性，分析问题时，我们首先要对实际医学问题进行必要的、合理的简化，建立比较简单的数学模型。然后逐渐强化条件，来建立比较符合实际问题的数学模型。
以传染病模型为例［4］，可设置如下的教学案例。
传染病传播的数学模型：传染病传播涉及的因素很多，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡等，以及人员的迁入和迁出、潜伏期的长短、预防疾病的宣传等因素的影响。
如果一开始就把所有的因素考虑在内，很难建立比较合理的模型，因此我们应先舍去众多次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型；将所得结果与实际比较，找出问题，逐步修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。
问题分析与思考：①描述传染病的传播过程；②分析受感染人数的变化规律；③预报传染病高潮到来的时刻；④预防传染病蔓延的手段。
接下来按照传染病传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。
模型1：考虑最简单的情形，假设：（1）每个病人单位时间内有效接触（足以使人致病）人数为常数；（2）一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。
记i（t）表示时刻t病人数，初始时刻的病人数为i（0）=i，于是得微分方程：=λi（t），解得i（t）=ie，这个结果与传染病传播初期比较吻合，被传染人数按指数函数增长。但当t→∞时，i（t）→∞，显然是不合理的。
模型2：将模型1的假设（1）修改为：每个病人单位时间内有效接触人数为常数λ，且使接触的健康人致病；假设（2）同上；增加假设（3）总人数不变，病人和健康人比率分别为i（t）、s（t），即i（t）+s（t）=1，得微分方程：=λi（t）s（t）。
此模型可以用来预报传染较快的传染病高峰到来的时间，但当t→∞时，i（t）→1，即最后人人都要生病，显然是不合理的。
模型3：假设传染病无免疫性，病人治愈成为健康人可再次被感染。则在模型2的基础上修改假设（2）病人每天治愈的比例为μ，得微分方程：=λi（t）（1-i（t））-μi（t）?圯=λi（t）［i（t）-（1-）］。
当t→∞时，i（∞）=1-，＜10，≥1，可知模型基本符合实际情况，但当＜1时，i（∞）→1-不太合理。
模型4：假设传染病有免疫性，病人治愈后即移出感染系统。则在模型3的基础上修改假设（3）总人数N不变，病人、易感染者和移出者的比率分别为i（t）、s（t）、r（t），即i（t）+s（t）+r（t）=1。
建立模型：
由上知易感染者Ns（t）的变化率：N=-N-N=-λNs（t）i（t）。
不妨设初始时刻的易感染者、病人、移出者的比例分别为s（s＞0），i（i＞0），r=0，则模型4用微分方程表示如下：
=λs（t）i（t）-μi（t）=-λs（t）i（t） =-1i|=i。
我们可以发现i（t）、s（t）求解非常困难，先做数值计算来预估计i（t）、s（t）的一般规律，再利用相轨线i（s）讨论解i（t）、s（t）的性质，得到：
①不论初始条件s、i如何，病人最终将消失，即：i=0。
②当s=，i=i，可知：
第1种情况：当s＞时，i（t）先升后降至0，说明传染病蔓延。
第2种情况：当s≤时，i（t）单调降至0，说明传染病不蔓延。
可知传染病不蔓延的条件是s≤。所以为了防止传染蔓延有两种途径：一是提高阀值，也就是说降低接触率λ和提高治愈率μ，即提高卫生水平和医疗水平；二是降低最初易感染者的比例s，也就是说提高有免疫力人群的比例r，即预防接种，提高整个群体的免疫力。此模型更符合一般的实际情况。
在实际建模过程中，经常遇到求解模型的解析解比较难或者模型没有解析解，这就需要借助已有的数学软件对现有的数据资料进行计算分析，从中找出隐藏的规律。因此，在数学教学中引入实验环节将是解决上述问题的一个重要手段。引入实验环节就是要求学生运用自己所学的数学知识，对实际医学问题进行分析、简化，建立相应的数学模型，然后利用计算机对数学模型进行求解（或者数值计算分析），最后结合实际数据验证模型，从而发现其内在规律。
4.结语
数学建模是通过调查、收集数据、资料，观察和研究其固有的特征和内在的规律，抓住问题的主要矛盾，运用数学的思想、方法和手段对实际问题进行抽象和合理假设，创造性地建立起反映实际问题的数量关系，即数学模型，然后运用数学方法辅以计算机等设备对模型加以求解，最后返回到实际中去解释、分析实际问题，并根据实际问题的反馈结果对数学模型进行验证、修改、并逐步完善［５］。在医学数学教学过程中融入数学建模思想，一方面能使学生逐步熟悉和掌握利用数学方法来解决实际医学问题。这将使学生对数学方法的运用产生兴趣，并逐步提高其实际的医疗水平。另一方面对于从事多年传统数学教学的教师来说，也是一项转变教学观念，更新教学方法的实践，能使教师的数学教学从与医学脱节的理论传授方式向医学实际的应用数学模式转化。
参考文献：
［1］姜启源.数学实验与数学建模［J］.数学的实践与认识，2001，31，（5）：613-617.
［2］易非易.论医学数学化［J］.数学理论与应用，2001，21，（4）：124-126.
［3］黄治琴，孙红卫.高等数学教学中渗透建模思想的几点尝试［J］.数学教育学报，1999，8，（3）：69-71.
［4］姜启源.数学模型［M］.北京：高等教育出版社，1993.
［5］李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程［J］.工程数学学报，2005，22，（8）：3-7.
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