大学土木专业，结构力学是本行，对辛数学的研究是从结构力学与最优控制的模拟关系切入辛代数的.钱令希先生为著作《计算结构力学与最优控制》[3]作序时指出：“力学工作者应首先虚心地汲取状态空间法成功的经验，重新认识哈密尔顿体系理论的深刻意义，以及随之而来的辛数学方法及其对应用力学的应用.”这表明钱先生的高瞻远瞩——把方向走对特别重要.超级大国大讲精确打击、反导等，可见控制的重要性.动力学不是结构力学，文献[4]就给出动力学与结构力学的模拟关系.因此，结构力学以及动力学与控制可在同一套Hamilton体系的数学下予以处理，而Hamilton体系正是在动力学范围内发展的.
数值求解若拘泥于差分格式，以至于提出“approximate symplectic algorithms cannot preserve energy for nonintegrable system”[5]的误判，不行！
有限元法是先从结构力学开始的，效果很好，有大规模程序系统的支持，已经成为工程师手中不可缺少的工具.问题是有限元法的基础正是变分原理，但这与动力学的保辛又有何关系呢？别忘记，变分法正是从动力学开始发展的.
首先明确，保辛是对于近似解而言的.动力学列出微分方程相对还容易掌握，而要予以分析求解，对一般问题就非常困难.虽然许多大数学家成世纪地努力，也未能解决，于是只能寻求离散近似数值解.保辛是动力学的概念，动力学需要用初值条件，所以离散后成为传递辛矩阵；而结构力学位移法有限元的概念是对称刚度阵.对称矩阵可转换到状态向量的传递辛矩阵的形式[6].
离散后仍然有离散近似系统的区段（ta，tb）两端状态向量的传递矩阵.保辛的要求是：离散后其传递矩阵仍然是辛的，即仍然是两端状态向量的传递辛矩阵.保辛强调：传递辛矩阵相当于其区段两端位移的刚度阵是对称的，因对称刚度阵所对应的传递矩阵一定是辛矩阵.离散后，有限元法插值提供对称区段刚度矩阵，虽然不是精确的；对应地，其传递矩阵却一定是辛矩阵，当然数值上也是近似的，但达到保辛.有限元法近似的效果早已被实践证实，其实就是动力学近似传递辛矩阵，两方面是一致的，其效果当然也是好的.然而，还有问题：有限元法针对结构力学，而保辛针对动力学，两者是否一致呢？
以上只是从对称矩阵与传递辛矩阵的变换角度解释保辛.然而，文献[6]还从几何的角度讲解了欧几里得几何以及辛的几何、度量矩阵等.再说，中国古代的大数学家祖冲之对于圆周率π计算的成就（中国古数学之根），也应挖掘出来为今天所用，这就与几何有关系了.所以，概念还得更深入些.
众所周知，按照平面欧几里得几何，给定两点qa与qb之间的短程线是其连接直线.古代数学家祖冲之的具体算法（称为“缀术”）已经失传，但用了割圆法是肯定的.估计他用了欧几里得几何两点qa与qb之间的短程线是其连接直线这一结果.
到了动力学的状态空间，情况当然不同.然而，时间区段（ta，tb）两端状态点之间取短程线的概念与“动力学状态空间两端Va与Vb间的短程线”相同，这就推广到了动力学.用到DAE时可称为祖冲之类算法.短程线的“程”其实就是时间区段作用量S；S的表达式有
（3）式（2）与（3）相同.事实上，Hamilton正则方程可从最小作用量原理式（3）推出.泛函式（2）的自变函数只有位移向量函数q；进行Legendre变换，就从单纯位移到Hamilton体系位移动量状态空间（q，p）的式（3）.最小作用量原理是将式（2）或（3）取最小，这也是变分原理的形式.于是有限元法的近似就可使用了，虽然是近似，但其误差是时间区段长度的高阶小量，而有限元法得到的刚度阵一定对称，也就是保辛.然而，辛群针对的是状态空间.时间区段划分得更密时，就更接近于真实解，所以说保辛就可保证区段作用量最小.时间有限元就是在变分原理式（2）上做的，保辛的根据就是最小作用量变分原理.
既然是近似传递辛矩阵，仍不免有问题.近似解（假的）对精确解（真的）总是有问题的.Poisson提出，n维动力学系统有n个首次积分（First integral）的解，其实就是系统的守恒量，例如能量守恒就是一个首次积分.n个首次积分难以全部求出分析解，其中只有m（m
离散系统的保辛讲的是格点之间的传递矩阵是辛的，而守恒讲的是在格点处原系统的守恒量依然守恒.至于不在格点处，则是采用插值函数的缘故，根本不能谈保辛和守恒.能分析求解的m个首次积分一般是非完整等式约束，也是可以数值积分的.[8]保辛守恒算法就是保证在格点处的保辛守恒.提出两难命题，说明他们不够成熟.
结构力学有限元发展很好，广泛应用；而动力学的时间积分尚有差距.基于模拟关系可将有限元法移植到时间积分.其实，只要关注其边界条件即可，计算了两端刚度阵，只要变换到传递辛矩阵，就是时间积分——开阔了思路.
“动力学状态空间两端Va与Vb间的短程线”的最小作用量变分原理将保辛完全解释清楚了.因为Hamilton正则方程就是从变分原理式（3）的最小作用量原理来的，而辛群对称是从正则方程来的.保证了式（3）的最小作用量原理，就已经保持了辛群对称的根本，不需要再从微分几何的角度另搞一套.一个最小作用量原理，再结合各种有限元法离散，即可得到保辛的有效算法.根本不用再讲什么“保结构”[8]等模糊提法，这只会混淆概念，抹杀中国人提出的明确成果.华、夷之分是很重要的，“人必自重而后人重之”，很要紧.中国首创成果，轻易地让人家用一些模糊概念的障眼法顶掉，只能说明自己太熊了，我们应捍卫中国原创成果.
在Hermann Weyl之后，纯数学家对辛数学非常重视，但依然拘泥于无穷小分析.他们用微分几何来解释，称为辛几何[1]，其基本构成是微分形式——切丛与余切丛、外乘积和Cartan几何等.这使工程人员难以理解.本文指出最小作用量变分原理，简明多了，而且还符合辛群对称的本意，这才是正规的.
中国古代文明光辉灿烂，在数学方面也有高度成就.在求解DAE时，祖冲之方法论达到了贯通古今、融合中西的境界.自己不挖掘出来，难道还要等外国人来挖掘？“行成于思，毁于随”，总是“随”也太熊了，何不主动自己闯呢！
在计算机信息时代，离散分析已经是大势所趋.一旦离散，辛几何就成为辛代数了，而对辛代数的理解可从胡克定律来说明[6]，很容易；连带将连续李群简化为传递辛矩阵群，切合工程师的认识.从最小作用量变分原理来解释和理解保辛，不论是连续系统，还是离散系统有限元法等全部可以适用，这样就不会存在顾此失彼的问题了.
参考文献：
[1]冯康，秦孟兆. 哈密尔顿系统的辛几何算法[M]. 杭州： 浙江科技出版社， 2003.
[2]COURANT R， HILBERT D. Methods of mathematical physics： Volume 1[M]. Berlin： Springer， 1953.
[3]钟万勰，欧阳华江，邓子辰. 计算结构力学与最优控制[M]. 大连： 大连理工大学出版社， 1993.
[4]钟万勰. 应用力学的辛数学方法[M]. 北京： 高等教育出版社，2006.
[5]ZHONG G， MARSDEN J E. LiePoisson HamiltonJacobi theory and LiePoisson integrators[J]. Physics Letter A， 1988， 133（3）： 134139. DOI：10.1016/03759601（88）907736.
[6]钟万勰. 力、功、能量与辛数学[M]. 大连： 大连理工大学出版社， 2012.
[7]高强，钟万勰. Hamilton系统的保辛守恒积分算法[J]. 动力学与控制学报， 2009， 7（3）： 193199.
GAO Q， ZHONG W X. The symplectic and energy preserving method for the integration of hamilton system[J]. Journal of Dynamics and Control， 2009， 7（3）： 193199.
[8]高强，钟万勰. 非完整约束动力系统的离散积分方法[J]. 动力学与控制学报， 2012， 10（3）： 193198.
GAO Q， ZHONG W X. Numerical algorithms for dynamic system with nonholonomic constraints[J]. Journal of Dynamics and Control， 2012， 10（3）： 193198.
[9]HAIRER E， LUBICH C， WANNER G. Geometric numerical integration： structurepreserving algorithms for ordinary differential equations[M]. 2nd ed. Berlin： Springer， 2006.
（编辑于杰）
推荐访问： 动力学 积分 数学
