基于Cosserat理论的微观结构对非均质材料有效性能的影响分析

摘要:为更有效地研究具有周期性微观结构的非均质材料平面应变问题,用基于Cosserat理论的渐进均匀化方法得到微观结构对非均质材料有效性能的影响情况. 计算结果表明,单胞内夹杂体的形状对有效杨氏弹性模量、有效泊松比、有效Cosserat弹性常数和有效材料特征长度有影响,并且随着夹杂体与单胞体积比的增大而影响明显.

关键词:Cosserat理论; 非均质材料; 渐近均匀化方法; 有效性能

中图分类号:O345文献标志码:A

Analysis on impact of microstructure on effective properties of

heterogeneous material based on Cosserat theory

ZHAO Yong, ZHANG Ruojing

(School of Aerospace Eng. & Mechanics, Tongji Univ., Shanghai 200092, China)

Abstract: As to the plane strain problem of heterogeneous material with periodic microstructure, the asymptotic homogenization method based on Cosserat theory is used to obtain the impact of microstructure on effective properties of heterogeneous material. The computation results indicate that the shape of inclusion in cell has impact on effective Young’s modulus of elasticity, effective Poisson ratio, effective Cosserat elastic constant and effective material characteristic length. With the increase of the ratio of inclusion volume to cell volume, the impact of microstructure on effective properties is greater and greater.

Key words: Cosserat theory; heterogeneous material; asymptotic homogenization method; effective property

0引言

细观力学的发展和对材料尺度效应的深入研究使得偶应力理论重新受到关注.1887年,VOIGT就对偶应力的存在作出假设.1909年,COSSERAT兄弟[1]最先提出完整的偶应力理论,被称为Cosserat理论.该理论假设材料点具有6个自由度,即除了3个平动自由度(线位移)外,还有3个转动自由度(角位移).应变不仅来自线位移梯度,角位移也有贡献.变形由应变和单元的弯曲曲率共同刻画.又假设材料内部不仅有应力,还有偶应力作用.应力与应变、偶应力与曲率互为功共轭.Cosserat理论可以很好地解释尺度效应现象.MINDLIN等[2],TOUPIN[3]和ERINGEN[4]等对该理论作简化和发展,形成不同的高阶连续介质力学理论.

随着该理论的出现,很多学者的研究都基于高阶连续介质力学的细观力学方法.1970年,BERAN等[5]通过统计弹性力学分析得到复合材料的非局部本构关系.LUCIANO等[6]利用上述思路分析夹杂基体型复合材料的非局部应力应变关系.ZUIKER等[7]通过在复合材料代表体单元边界上施加线性应变条件,得到含有应力、应力梯度及应变和应变梯度的复合材料高阶本构关系.BOUYGE等[8]利用宏观复合材料为高阶连续介质时有效弹性性质与代表体单元组成材料性质和微观结构的关系.YUAN等[9]研究复合材料为Cosserat介质时宏观有效模量与纤维尺度的关系.诸多学者建立从非均质材料为高阶连续介质到Cauchy介质的解析过渡方法,将传统细观力学的弹塑性分析方法推广到微观复合材料有效性质的分析[10-14].FOREST等[15]系统研究具有Cosserat理论的渐近均匀化方法.本文用该方法研究材料微观结构对有效性能的影响.

1Cosserat基本理论

在经典弹性理论中,宏观转动向量来自位移梯度张量的反对称部分ωi=12eijkuk,j(1)式中:ωi为宏观转动向量; eijk为置换张量;uk,j为位移向量uk在j方向的导数.Cosserat理论还定义1个独立的微观转动向量i,这使得应变张量εij不仅与位移向量有关,还与微观转动向量有关.相应的几何方程为

εij=uj,i-eijkki,j,k=1,2,3(2)

χij=j,ii,j=1,2,3(3)

式中:χij为微观曲率张量.平衡方程为

σji,j+fi=0i,j=1,2,3(4)

mji,j+eijkσjk+di=0i,j,k=1,2,3(5)

式中:σjk为应力张量;mij,j为偶应力张量mij在j方向的导数;fi为体力向量;di为体力偶向量.对于各向同性线弹性Cosserat材料,本构方程为σij=aijklεkl(6)

mij=cijkl χkl(7)其中,aijkl和cijkl为弹性系数,

aijkl=λδijδkl+(μ+κ)δikδjl+(μ-κ)δilδjk(8)

cijkl=αδijδkl+βδikδjl+γδilδjk(9)

aijkl=aklij,Cijkl=Cklij(10)

式中:κ,γ,α,β为Cosserat理论中的弹性常数;λ和μ为传统的拉梅因数;δij为Kroneker Delta符号.对于二维情况,弹性模量α和γ等于0,弹性常数由6个减少为4个.NOWACKI[16]定义Cosserat介质材料特征长度l为与材料有关的1个常数.l2=(μ+κ)γ4μκ(11)2渐进均匀化方法

假设非均质材料具有周期性微观结构,并适当选取单胞Y,见图1.为了描述质点的位置,除了建立宏观区域V的总体坐标系x={xi}外,还在单胞Y上建立局部坐标系y={yi}.认为质点位置矢量p=p(x,y),这样,与质点相联系的所有力学量都是x和y的函数.由于单胞排列的周期性,y的函数必然是关于y的周期函数,周期就是单胞的边长.

图 1周期性微观结构和单胞

设非均匀Cosserat材料整体结构的特征尺度为L,单胞的特征尺度为ld,并且ld远小于L,材料特征长度l与整体结构的特征尺度L的大小相近.按式(12)定义小参数ζ=ld/L1(12)通过y=x/ζ坐标变换,可将整体区域V定义为Vζ={x∈V|y∈Y} 在区域Vζ内,任意力学量对x的微分可以表示为fζ(x)xi=f(x,y)xi+1ζf(x,y)yi(13)式中:上标ζ表示该力学量随整体坐标和局部坐标变化.

将位移向量uζ和微转动向量ζ(x)展开成关于ζ的渐近展开

uζi(x)=u(0)i(x,y)+ζu(1)i(x,y)+…

ζi(x)=(0)i(x,y)+ζ(1)i(x,y)+…(14)

u(0)i,u(1)i,(0)i和(1)i是关于y的周期函数,周期为单胞边长.将位移和微转角展开式(14)代入式(2)和(3),可得应变和曲率展开式

εζij=ζ-1ε(-1)ij+ε(0)ij+…=

ζ-1u(0)jyi+u(0)jxi+u(1)jyi-eijk(0)k+…(15)

χζij=ζ-1χ(-1)ij+χ(0)ij+…=

ζ-1(0)jyi+(0)jxi+(1)jyi+…(16)

将式(15)和(16)代入式(6)和(7),得到应力和偶应力的展开式

σζij=ζ-1σ(-1)ij+σ(0)ij+…=ζ-1aijklu(0)lyk+aijklu(0)lxk+u(1)lyk-eijr(0)r+…(17)

mεij=ζ-1m(-1)ij+m(0)ij+…=ζ-1cijkl(0)lyk+cijkl(0)lxk+(1)lyk+…(18)

将式(17)和(18)代入式(4)和(5)中,并令与ζi(i=-2,-1,0)有关的因数为0,这样得到一系列方程组[9]为

ζ-2: σ(-1)jiyj=0,m(-1)jiyj=0(19)

ζ-1: σ(-1)jixj+σ(0)jiyj=0,

m(-1)jixj+m(0)jiyj+eiklσ(-1)kl=0(20)

ζ0: σ(0)jixj+fi=0,

m(0)jixj+eiklσ(0)kl+di=0(21)

求解以上方程组可得〈σ(0)ji〉xj+fi=0

〈m(0)ji〉xj+eikl〈σ(0)kl〉+di=0(22)其中

〈σ(0)ij〉=

1|Y|∫Yaijkl-aijpqΨklqypdYu(0)jxi-eijk(0)k

〈m(0)ij〉=1|Y|∫Ycijkl-cijpqφklqypdY(0)jxi(23)

式中:|Y|为单胞体积;u(0)i和(0)i是与x有关的函数,与y无关.与aijkl和cijkl对应的有效弹性系数为Aijkl=1|Y|∫Yaijkl-aijpqΨklqypdY

Cijkl=1|Y|∫Ycijkl-cijpqφklqypdY(24)式中:函数Ψklq和φklq是关于y的周期函数,周期为单胞边长,并且可以通过求解下列问题求得∫Yajiklδui(x,y)yjdY=∫YajipqΨklq(y)ypδui(x,y)yjdY

∫Ycjiklδi(x,y)yjdY=∫Ycjipqφklq(y)ypδi(x,y)yjdY(25)3微观结构对非均质材料有效性能的影响

图 2单胞对于平面应变问题,假设非均匀弹性材料具有周期性微观结构,单胞的基体材料和夹杂体材料为各向同性线弹性体.如图2所示,取2种不同微观结构的单胞,边长d=1.0×10-3 μm,阴影部分为夹杂体,夹杂体形状分别为圆形和正方形,夹杂体体积与单胞体积比为t,基体的材料常数为:杨氏弹性模量Em=1.0E+5 N/mm,泊松比νm=0.3,材料特征长度lm=1.0 μm,Cosserat弹性常数μm=Em/2(1+νm),km=μm/2.夹杂体的材料常数为:杨氏弹性模量Ef=1.0E+6 N/mm,泊松比νf=νm,材料特征长度lf=lm,Cosserat弹性常数μf=Ef/2(1+νf),kf=μf/2.用Fortran编写有限元程序计算单胞微观结构对有效性能的影响.

图3给出在经典弹性理论和Cosserat理论下,夹杂体为方形和圆形时,有效杨氏弹性模量E随t变化的情况.可以看出在经典弹性理论和Cosserat理论下,随着夹杂体体积的增大,E增大,其中夹杂体为方形的E大于夹杂体为圆形的E;在t相同的情况下,用经典弹性理论求得的E小于用Cosserat理论求得的E.

图 3有效杨氏弹性模量E

图4给出在经典弹性理论和Cosserat理论下,夹杂体为方形和圆形时,有效泊松比ν随t变化的情况.可以看出在经典弹性理论和Cosserat理论下,随着夹杂体体积的增大,ν减小,其中夹杂体为方形的ν小于夹杂体为圆形的ν;在相同体积比的情况下,用经典弹性理论求得的ν大于用Cosserat理论求得的ν.图5给出在Cosserat理论下,夹杂体为方形和圆形时,有效Cosserat弹性常数κ随t变化的情况.从图中可以看出随着夹杂体体积的增大,κ增大;在相同体积比的情况下,夹杂体为方形的κ大于夹杂体为圆形的κ.

图 4有效泊松比ν图 5有效Cosserat 弹性常数κ

图6给出在Cosserat理论下,夹杂体为方形和圆形时,有效材料特征长度l随t变化的情况.从图中可以看出随着夹杂体体积的增大,l增大;在相同体积比的情况下,夹杂体为方形的l小于夹杂体为圆形的l.

图 6有效材料特征长度l

4结论

使用基于Cosserat理论的渐近均匀化方法研究具有周期性微观结构的非均质材料的平面应变问题,得到单胞内微观结构对有效性能的影响情况.计算结果表明,单胞内夹杂体的形状对有效杨氏弹性模量、有效泊松比、有效Cosserat弹性常数和有效材料特征长度有影响,并且随着夹杂体与单胞体积比的增大而影响明显.参考文献:

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(编辑于杰)

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