线性红利界下带干扰风险模型的破产概率

摘 要 考虑到保险公司在实际经营中收益所具有的不确定性和分红策略，建立一类具有线性红利界和带随机扰动的双复合Poisson风险模型，利用鞅方法给出模型关于破产概率的一个定理及上界．

关键词 线性红利界；干扰；双复合Poisson风险模型；破产概率

中图分类号 O211．6 文献标识码 A

Ruin ProbabilityintheRiskModelwithPerturbance underaLinearDividendBarrier

ZHONG Chao-yan

(School of Mathematics and Information Sciences,Qujing Normal University,Qujing,Yunnan 566011,China)

Abstract Takeing into account the actual operating of an insurance company withrandom income and the dividends strategy, a double compound poisson processes risk model with perturbancl under a linear dividend barrier was established. By using martingale ,the formula and theupper bound of ruin probability in this new model were obtained.

Key words linear dividend barrier;perturbance; the risk model with double compound poisson processes; ruin probability

1 引 言

在Lundberg-cramer经典风险模型中，为了数学处理方便，给了许多假定条件和简化．而由于保险业务的复杂性，在某些情况下，这些假定条件和简化并不一定是合适的．因此，后继的研究者对它从许多方面作了推广，并且有些研究已比较完整和深入（如文献［1-5］等）．为了从保险精算的角度来考虑股份制保险公司的红利分配问题，当前国际保险精算界非常关注对引入红利的保险风险模型的研究（如文献［6-7］等）．从当前对红利模型理论研究的现状来看，一般可以分成两类：一类是最优红利问题；一类是红利与破产的问题．为了丰富风险模型的研究，克服有关局限性，加强模型的预警和现实描述能力，考虑到保险公司收益具有的不确定性和分红策略，在前人对红利边界风险模型推广研究的基础上，建立一类具有线性红利界和带随机扰动的双复合Poisson风险模型，利用鞅方法给出模型关于破产概率的一个定理及上界，并给出数值算例．

2 建立模型

建立带随机干扰的双复合Poisson风险模型：

R(t)=u+S1(t)－S2(t)+σW(t)，

S1(t)=∑N1(t)i=1Xi，S2(t)=∑N2(t)j=1Yj，t≥0.（1）

其中,u=R(0)(＞0)是初始盈余；{N1(t),t≥0}、{N2(t),t≥0}分别是参数为λ1(λ1＞0),λ2(λ2＞0)的Poisson过程，它们分别表示(0,t)内保费收取的次数和索赔次数；{Xi,i≥1}、{Yj,j≥1}分别表示第i次保单到达随机收取的保费和第j次索赔的索赔量，它们是i.i.d的非负r.v序列，cdf分别为FX(•)和FY(•)，mgf分别为MX(r)＜

和MY(r)＜

，E［X］=μ1＜

，E［Y］=μ2＜

； {W(t),t≥0}为一标准布朗运动,σ＞0为一常数，σW(t)表示保险公司的不确定收益；{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0},{W(t),t≥0}、{Xi,i≥1},{Yj,j≥1}相互独立．

为了保证公司的稳定经营，假定单位时间内的平均保费收入大于平均理赔额．

在模型（1）基本假设不变下，设定一个线性红利界限y=b+qt，其中b为初值（u≤b），q为递增速率（0＜q＜λ1μ1）．这样只要盈余在红利界限以下，便不发放红利；若盈余在红利界限以上，每单位时间便发放λ1μ1－q的红利，直至下一次索赔发生．这样的运作结果可使得盈余一旦超越红利界限便驻留在边界上．于是得一新的盈余过程：

dR(t)=dS1(t)+σdW(t)－dS2(t) , R(t)＜b+qt,qdt+σdW(t)－dS2(t),R(t)=b+qt.（2）

令T=Tb(u)=inf {t≥0|R(t)≤0}为模型（2）的破产时刻；Ψ(u,b)=P(Tb(u)＜

|0≤u≤b)为模型（2）的最终破产概率．

3 主要结果

引理1 模型（1）的Lunderg方程为λ1(MX(－r)－1)+λ2(MY(r)－1)+σ2r22=0，它有非平凡正解为R，并称R为模型（1）的调节系数．

证明 对h＞0和r∈R，可得

E［exp (－r(R(t+h)－R(t)))］

=E［e－r［S1(t+h)－S1(t)］e－rσ［W(t+h)－W(t)］er［S2(t+h)－S2(t)］］

=eh(λ1(MX(－r)－1)+λ2(MY(r)－1)+σ2r22).

故模型（1）的Lunderg方程为

λ1(MX(－r)－1)+λ2(MY(r)－1)+σ2r22=0．

令g(r)=λ1(MX(－r)－1)+λ2(MY(r)－1)+σ2r22，则g(0)=0，r→

，g(r)→

，且

g″(r)=λ1M″X(－r)+λ2M″Y(r)+σ2

=λ1E［X2e－rX］+λ2E［Y2erY］+σ2≥0，

所以g(r)=0必有一非平凡正解R．

引理2 方程sq+Rq=λ1(MX(s)－1)+λ2(MY(－s)－1)+σ2s22有唯一正解s=S，其中R为调节系数．

证明 方程sq+Rq=λ1(MX(s)－1)+λ2(MY(－s)－1)+σ2s22可改写为

λ1MX(s)+λ2MY(－s)

=((λ1+λ2)+Rq)+sq－σ2s22.

当s=0时，上式左端小于右端；再由于左端是凸函数，右端是开口向下的二次函数，故恰有两个解：平凡解s=－R及非平凡解s=S．

引理3 对于存在线性红利界限的风险模型（2），若函数

v(x,t)=exp (－Rx)+RSexp (Sx－

(R+S)(b+qt))，t≥0，0≤x≤b+qt,

其中,R，S同引理1与引理2所设，则{v(R(t),t)}为一鞅．

证明 对于存在线性红利界限的风险模型（2），为了寻找函数v(x,t)，t≥0，0≤x≤b+qt，使{v(R(t),t)}为一鞅，只要函数v(x,t)满足［1］

lim h→0E［v(R(t+h),t+h)|Ht］－v(R(t),t)h=0.（3）

在(t,t+h)时间内讨论如下情况：

1）没有保费收入，也没有索赔发生；2）没有保费收入，有一次索赔发生；

3）有一次保费收入，没有索赔发生；4）有一次保费收入，有一次索赔发生．

可知，当{v(R(t),t)}满足条件：

σ222vx2+vt+

λ1∫

0v(x+z,t)dFX(z)+λ2∫

0v(x－y,t)dFY(y)－(λ1+λ2)v(x,

t)=0,x＜b+qt.（4）

σ222vx2+qvx+vt+

λ2∫

0v(x－y,t)dFY(y)－λ2v(x,t)=0,

x=b+qt（5）

时式（3）成立，所以{v(R(t),t)}为一鞅．这样，可以转而寻找这样一个函数v(x,t)，它使得方程（4）对所有x与t皆成立，并满足

vx=0，x=b+qt .（6）

考虑函数

v(x,t)=exp (－Rx)+RSexp (Sx－(R+

S)(b+qt)).

由引理1、引理2知函数v(x,t)满足式（4）与式（6），故{v(R(t),t)}为一鞅．

定理存在线性红利界限的风险模型（2）的最终破产概率Ψ(u,b)满足：

Ψ(u,b)=exp (－Ru)(1+RSexp (－(R+S)(b－u)))E［exp (－RR(T))+RS

exp (－(R+S)(b+qT)+SR(T)|T＜

］，0≤u≤b.

其中,R，S同引理1与引理2所设．

证明 设

z(t)=exp (－RR(t))+RSexp (SR(t)－

(R+S)(b+qt)),

则由引理3知{z(t)}为一正鞅，对任意固定的t0，T∧t0是有界停时，利用有界停时定理有

E［z(T∧t0)］=E［z(0)］

=e－Ru{1+RSexp ［－(R+S)(b－u)］}.

由全期望公式得

E［z(T∧t0)］=E［z(T)|T≤t0］，

P(T≤t0)+E［z(t0)|T＞t0］P(T＞t0),

在上式两端令t0→

，由单调收敛定理和Lebesgue控制收敛定理知

E［z(0)］=E［z(T)|T＜

］Ψ(u,b)+

E［z(

)|T=

］(1－Ψ(u,b)).

由于lim t→

R(t)=+

,a.s.，故z(

)=0,a.s.，进而

Ψ(u,b)=exp (－Ru)(1+RSexp (－(R+S)(b－u)))E［exp (－RR(T))+RSexp (－(R+S)(b+qT)+SR(T)|T＜

］．

推论存在线性红利界限的风险模型（2）的最终破产概率Ψ(u,b)满足：

Ψ(u,b)≤exp (－Ru)(1+RS•

exp (－(R+S)(b－u)))，0≤u≤b.

其中,R，S同引理1与引理2所设．

下面给出一个数值算例.

例 假设保单的到达速率为λ1=20张/天，理赔速率为λ2=0.01次/天，FX(x)=1－e－x和FY(y)=1－e－0.001y．下面在不同假定条件下计算风险模型（2）最终破产概率的理论上界.

1）在假定u=1，b=2，q=11的条件下，计算不同σ下的R、S和最终破产概率的理论上界可得表1.

从表1中可以看出，在考虑投资收益等干扰因素的条件下，调节系数随着扰动强度的增大而减小；最终破产概率的理论上界随着调节系数的减小而增大；这与追求高收益的激进的投资策略往往带来高风险的实际是相符的．因此保险公司应当注意控制投资策略的平稳性，尽量避免大的波动.

2）在假定σ=1，u=1，q=11的条件下，计算不同b下的最终破产概率的理论上界可得表2.

从表2中可以看出，最终破产概率的理论上界随着b值的增大而减小；这与b设置得越高，意味着保险公司不倾向于过度分配当期盈利，所分配的红利就越少，相应的实际偿付能力就越强的实际是相符的．

3）在假定σ=1，u=1，b=2的条件下，计算不同q下的S和最终破产概率的理论上界可得表3：

从表3中可以看出，最终破产概率的理论上界随着q值的增大而减小；这与q设置得越大，意味着保险公司每单位时间发放的红利就越少，相应的实际偿付能力就越强的实际是相符的．

4 结 论

为了加强模型的预警和现实描述能力，考虑到投资收益等干扰因素的偏差对保险公司财务稳定的影响和分红策略，建立了一类具有线性红利界和带随机扰动的双复合Poisson风险模型，并利用鞅方法给出了模型关于最终破产概率的一个定理及上界，推广了不含红利和不带随机扰动时的相应结果，通过数值算例可以看到，所建模型是符合保险实际的，这对保险公司科学地预测未来的风险和收益，确保经营稳定性有一定的实际意义．

参考文献

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